Pour la 1) je pense que c'est à toi de voir.

Pour la 2), qu'est-ce qu'une variable aléatoire continue ? Il n'y a pas de topologie sur un espace probabilisé. Le problème de la continuité d'une variable aléatoire ne se pose pas.

BONJOUR,
pour la 1) merci!

pour la 2) variables aléatoire continues est un terme qui existe,ce que je veux savoir(en fait j'en suis presque sur),c'est le fait que ça désigne les variables aléatoires à densité...
et je me posais simplement la question de savoir d'ou le terme continue provenait

2) OK. J'ai compris. C'est un mauvais abus de langage. C'est pour opposer variables aléatoires discrètes et variables aléatoires continues.

Une variable à densité n'a rien à voir avec continue. La densité correspond à une variable aléatoire réelle, dont la mesure image est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. En d'autres termes, il existe une fonction f, telle que :



et f s'appelle la densité de X.

Par contre il y a des variables alétoires continues (i.e. non discrètes) qui n'admettent pas de densité par rapport à Lebesgue (le support de la mesure peut très bien être un Cantor). Un exemple simple est donnée par une variable aléatoire de loi : 1/2 (Lebesgue) + 1/2(Dirac en un point).

non mais en fait mon prof en L3 a fait l'amalgame des deux, je n'avais jamais rencontré de variable aléatoire continue qui n'admettait pas de densité...

et d'ailleurs dans les 4 bouquins que j'ai,l'amalgame y est fait de meme:
je cite Sheldom M.Ross:

Citation :
On qualifiera X de variable aléatoire continue s'il existe une fonction f non négative définie pour tout x de R et vérifiant pour tout ensemble B de nombres réels la propriété:
la fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X

Peut-être que la terminologie est comme ça... je ne veux pas te dire des bêtises. (Le "continue" voudrait dire loi absolument continue par rapport à Lebesgue).

mais j'en reviens à ton contre-exemple que je ne comprend pas trés bien à vrai dire...

Appelons C l'ensemble triadique de Cantor. Quand je dis que le support de la mesure peut-être un Cantor je sous-entend qu'il existe des mesures de probabilités sur [0;1] qui vérifient .
Alors que pour le mesure Lebesgue, la mesure de C est nulle.

(Pour la construire, on peut par exemple regarder la mesure image de Lebesgue par l'escalier de Cantor. Mais il y a beaucoup d'autres façons de faire.)



L'intégrale est malheuresement pas à prendre au sens de Riemann. Mais rassure toi, les seules lois "intéressantes" ont une densité ou bien constantes par morceaux et la notion d'intégrale n'a pas d'importance.


Prenons la mesure de Dirac en 0. Pour montrer que ce n'est pas une mesure à densité, il faut prouver qu'il n'existe pas de fonction f positive sur [0;1] qui vérifie :

Te prends pas la tête avec l'ensemble de Cantor.


Par contre l'autre exemple est simple à comprendre.

La mesure de Dirac en 0 est la mesure :

C'est bien une mesure de probabilité sur [0;1].

Appelons la mesure de Lebesgues . Je définis la somme des deux mesures comme :

On vérifie que c'est encore une mesure de proba sur [0;1].

là,je suis perdu!
c'est une mesure ou une loi?
pourquoi c'est pas une densité?

Une mesure = une mesure de probabilités !

C'est une fonction défini sur la tribu qui vérifie...

ahh d'accord,j'ai eu peur à un moment!!

bon, je garde ça dans un coin de ma tête


par contre,est-ce qu'il est possible d'introduire dans cette leçon les notions de loi de probabilité et de densité de probabilité sans faire référence à la mesure de Lebesgue?

Oui et non !

Tu peux seulement utiliser les hypothèses sur l'intégrale de Riemann, mais se pose alors le problème de la tribu. De plus, Riemann ne te permet pas vraiment d'intégrer sur des boréliens. Mais une proba est entièrement déterminée par sa valeur sur les intervalles. Je pense de toute façon que ce n'est pas l'objectif de la leçon et que tu as le droit de passer ça sous silence (si on te pose des questions là dessus c'est que le reste est vraiment parfait). Ce qu'on te demande c'est surtout de savoir définir l'espérance, la variance, de les calculer sur les exemples standards et de les mettre en situation pratique (soit en utilisant les inégalités de Markov et de Bienaymé-Chebychev soit avec des statistiques).

Je la trouve parfaite dans le cadre de la leçon, car les exemples de lois continues seront :

les lois uniformes (constantes sur un intervalle)
les lois exponentielles (qui sont infiment dérivables)
les lois normales (qui sont infiniement dérivables)

et éventuellement la loi de Cauchy, pour montrer qu'il y a des variables qui n'ont pas d'éspérance.

trés bien!
Merci beaucoup pour ton aide et ta patience face à mes questions!
Merci!

Par contre garde en tête la mesure de Dirac, si le jury te questionne sur une variable aléatoire réelle sans densité.

oui,je crois que j'ai retenu la leçon
encore merci

encore un détail,dois-je me placer sur un espace probabilisé infini non dénombrable exclusivement?

en fait,je ne sais pas trop quoi prendre comme "cadre" de la leçon?

moi je serais tenter de prendre dans toute la leçon un espace probabilisé infini.
qu'en penses-tu?

L'espace probabilisé est abstrait et relativement inutile. On n'a aucune hypothèse à faire dessus. Ou interviens ton problème ?

bah je pensais que les var discretes prenaient des valeurs dans des ensembles finis ou infini dénombrable et donc que les var à densité ne prenaient des valeurs que dans des ensembles ininis non dénombrables,mais je n'en suis pas certain à 100% et effectivement il n 'y a pas beaucoup d'interet à le dire,mais je pense que d'un point de vue rigourosié,ça peut mettre reprocher

est-ce que tu dirait qu'une variable aléatoire à densité est une variable pouvant prendre toute les valeurs d'un intervalle ou de plusieurs intervalles de R

Attention. Le fait que la variable aléatoire prennent ses valeurs dans un certain ensemble ne te donne aucun renseignement sur l'espace de probabilité ! Ce sont deux choses complétement disjointes.

Un espace de probabilités est juste ce qui nous permet de définir une variable aléatoire. En modélisation, ca peut-être :
  * l'ensemble des échantillons possibles parmi une population (pour un test statistiques) qui n'est pas forcément fini. Ni dénombrable.
  * l'ensemble des paramètres qui détermine la météo de demain

De manière générale c'est un truc vague où on rentre toutes les incertitudes et dont on connaît juste la loi de quelques observables (les variables aléatoires).


En tout cas, c'est un ensemble qui n'est pas intéressant du point de vue des probabilités (enfin rarement).

D'accord!
Merci

penses-tu qu'il serait judicieux d'introduire la notion de variable continue avant la notion de variable aléatoire à densité comme celà est fait ici:
ou là:

premier papier :
Comme je l'ai dit plus haut ça commence très mal : il fait une hypothèse sur l'espace qui ne sert à rien. Tu peux la faire, mais le jury va demander : pourquoi faites vous cet hypothèse ? Et tu seras coincé parce que ça sert à rien.

Il ferait mieux de définir ce que veux dire .

second papier :
C'est beaucoup plus sérieux. Par contre dans sa première définition il utilise un "en général" dont tu dois te méfier.

Par contre j'ai pas répondu à ta question : pourquoi pas.

oui je l'ai vu ce "en général"
merci de ton avis!

d'accord!
ok,je crois que je fais faire comme ça alors!

Mais pour cette leçon il faut introduire beaucoup de définition et c'est un peu lourd (comme dans la théorie de l'intégration). Il faut passer du temps à les expliquer mais ne pas en mettre trop car une leçon de CAPES c'est court ! C'est essentiel de ne pas mettre de définition dont tu ne vas pas te servir par la suite.

C'est quoi cette nouvelle leçon bonus 82 ?

Je chercher un papier officiel qui mentionnerait cette leçon mais je n'en trouve pas...

Je sais pas ou vous avez peché cette info, merci de m'éclairer

Tiens donc on ne peut pas éditer les posts...

Donc je pourrai pas enlever ce joli " r " en trop après " je cherche "

personne va t'éclairer...c'est un concours mec!

Ah oui c'est vrai j'oubliais...

Suis-je bête...