Bonjour,

Il s'agit en fait d'un problème de dénombrement : compter le nombre de triplets (A,B,C) de parties de {1,...,n}  telles que A est contenu dans l'intersection de B et C.

Ce que tu ne comprends pas, c'est que puisque A, B, C sont uniformément réparties sur l'ensemble des parties de {1,...,n} et indépendantes, on est effectivement ramenés à un problème de dénombrement pur et simple.  À partir de là, plus de probas et plus de variables aléatoires.

Une variante :  les évènements "i appartient à A" (ou B, ou C, et pour i allant de 1 à n) sont indépendants et de proba 1/2. C'est ce que disent les hypothèses de l'énoncé.
Tu peux alors chercher à calculer la probabilité que tous les éléments de {1,...,n} appartiennent à la réunion du complémentaire de A et de l'intersection de B et C.

Je ne vois pas du tout comment vous avez pu un énoncer alternatif. On parle de variable aléatoire alors que vous me parlez d'ensemble. Et la proba de i appartient à A pourquoi estce 1/2 ?

Oui je ne comprends vraiment pas là. Comment compter alors que l'intersection de B et C est P({1,...,n}) de card 2^n?

N vois-tu pas que quand toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d'un évènement est égal au nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues ?
Ici, les issues sont les triplets de parties (A,B,C), et une issue est favorable quand A est contenue dans l'intersection de B et C.

Je comprends mieux, j'arrive mieux à visualiser le problème. Mais je ne vois toujours pas comment généraliser et compter sans faire une disjonction de cas infini J'ai toujours eu du mal avec le dénombrement donc désoler si parfois mes réflexions peuvent paraitre un peu stupide. Merci à vous en tout cas

Comment veux avoir une disjonction de cas infinie alors que tout est fini dans la situation ???
Déjà : combien y a-t-il de triplets (A,B,C) de parties de {1,...,n} ? (le nombre total d'issues).
Pour avoir une idée sur comment compter le nombre d'issues favorables, fais un dessin avec une grande patate représentant {1,...,n} et des sous-patates représentant B, C  et A contenu dans l'intersection de B et C.  Pour certaines personnes, se représenter graphiquement la situation aide ; en fais-tu partie ?

Oui j'en fais partie c'est exactement ce que j'ai fais pour essayer de comprendre. Il y a n^3 triplet je crois.  Donc il y a n^3 total d'issues.

Non, tu te fourvoies complètement !
Combien y a-t-il de parties A dans {1,...,n} ?
Combien y a-t-il  de couples (A,B) de parties ?
Combien y a-t-il de triplets (A,B,C) de parties ?

Oulah.. Si même ça j'ai faux .. Il y a 2^n partie A.

Je crois que j'ai confondu avec des p liste au temps pour moi.

Il y a 2^n*2=2^(n+1) couples (A,B) ?
Donc 2^(n+2) triplet ? Si tel est le cas maintenant il faut soustraire ceux qui ne respectent pas la condition et on a le nombre de triplet ? c'est ça ?

Hum hum ....
Choisir un couple (A,B), c'est choisir A ET choisir B. Combien de choix possibles pour A ? Combien de choix possibles pour B ?  Combien de choix possibles pour (A,B) ?

Dans un menu tu as trois choix pour l'entrée et trois choix pour le plat principal. Tu veux prendre entrée ET plat.  Combien as-tu de choix possibles ?

Quel est ton niveau d'études ? Tu as mis "autre", ce n'est pas suffisamment informatif. et ça ne permet pas de faire des réponses au niveau adapté.
N'aie pas peur, tu es anonyme sur le forum !

Justement ça commence à dater un peu et le dénombrement je n'ai jamais réussi à bien comprendre. Je suis en niveau master là. En probabilité j'y arrives très bien mais je n'ai jamais réussi à faire de dénombrement. Là j'essaye de comprendre. Mais avec votre exemple on a bien 9 couples possibles ?

Je pense avoir compris, je me suis trompé je ne parlais pas des parties de l'ensemble mais jsute de l'ensemble.  Donc le nombre de triplet (A,B,C) est 2^n^3= 2^(3n) ?  

Il faut que tu arrives à être sûr de ce genre de trucs. En fait, ce n'est pas tellement une question de connaissances mathématiques qu'une question de bon sens. Essaie de faire plus confiance en ton bon sens.
Pour le niveau que tu indiques sur le profil, il y a une rubrique "reprises d'études".

Bon, maintenant, quel est le nombre d'issues favorables ? As -tu fait le dessin que j'ai suggéré ? Combien vois-tu dans ce dessin de régions où placer les nombres de 1 à n ?

Par exemple, pour dénombrer tous les triplets A,B,C possibles, on pouvait dessiner ces patates :



On voit sur ce dessin 8 régions possibles où placer les nombres de 1 à n, suivant leur appartenance ou non à A, B, C.  On retrouve le 8^n auquel tu as fini par arriver. D'accord ?

C'est très clair mais c'est là où ça coince, B et C peuvent n'avoir aucun élement en commun ? C'est pourquoi je ne comprends pas la justification du dessin car cela voudrait dire qu'il y a qu'une seule région où l'issue est favorable ? et donc une probabilité extrêmement faible que ça arrive

Encore une fois, une question de bon sens : faire un dessin de trois sous-patates de la patate E avec la patate A contenue dans l'intersection de la patate B et la patate C.
Combien de régions suivant l'appartenance à A, B, C avec cette contrainte que A est contenu dans l'intersection de B et C ?

Je ne comprends pas ce que tu as écrit dans ton dernier message. Il se peut que B et C n'aient aucun élément en commun, si on ne place aucun entier de 1 à n dans les régions 5 et 8, et donc que tous se retrouvent dans l'une des 6 autres régions. Ça fait 6^n possibilités de les placer ainsi, et on trouve de cette façon qua la probabilité de l'évènement "B et C sont disjoints" est  6^n/8^n = (3/4)^n.

Oops pardon il y en a 0.

Mais ici justement on ne nous dis pas si ils sont disjoints ou pas ... Mais comme on ne dit pas que B et C sont disjoints on part du principe qu'ils ne le sont pas ?
si B = {1} et C= {2 } par exemple ils seront disjoints. C'est ça que je ne comprends pas comme rien n'est fixé où donné on doit faire deux cas ?  
Les dessins je les fais ça m'aide justement

Ahhhhhh j'ai compris votre message au temps pour moi !
On a le cas général et ensuite l'issue favorable de l'évènement B et C disjoint est au nombre de 6^n. Je crois avoir compris

Et pour le 0 je ne suis pas sûr je refais.

J'ai compris, si A inclu B inter C, alors 5 régions possible où l'on peut place les nombres 1,...,n Donc (5/8)^n triplet possible ?

Je te rappelle que tu dois calculer la probabilité de l'évènement "A est contenu dans l'intersection de B et C".
Je t'ai donné en exemple une façon de calculer la probabilité de l'évènement "B et C sont disjoints". C'est juste un exemple.

Je viens de voir ton dernier message. C'est presque ça, sauf que tu fais une confusion dans ta phrase entre nombre d'issues favorables et probabilité.

En effet, la réponse juste serait: La probabilité que "A soit inclu dans l'intersection de B et C" est de (5/8)^n ?

Fais ton examen de conscience pour voir si tu es convaincu de cette réponse.  

Je pense que c'est exact mais je trouve également 5 zones pour" A inclu dans l'nion de B et C " ainsi que pour " B union C inclu dans A" Et 7 pour "l'intersection de B et C inclu dans A"

Deux remèdes possibles :
- compter avec plus de soin
- passer voir un ophtalmo.

Il y a tout de même un de tes décomptes qui est correct sur les trois.

Bon bah va falloir que je réapprenne à compter visiblement car je trouve toujours la m^me chose ... :?

Excuse-moi, il n'y a en fait qu'un de tes décomptes qui ne va pas. 2 sur 3, ce n'est déjà pas mal.

Peux tu me donner les n° des "zones interdites" (en te référant à mon dessin plus haut) dans chacun des trois cas ?
Comme ça, on pourra discuter précisément.

On va juste définir les évenements pour aller plus vite : 1) {A ⊂ B ∩ C};  2) {A ⊂ B ∪ C};  3) {B ∩ C ⊂ A};  4) {B ∪ C ⊂ A}.

Pour le 1, j'ai fais comme on a dit donc les zones interdites sont les 7 6 2

Pour le 2, je me suis peut etre trompé car je vois que la zone 2 comme interdite

Pour le 3, juste la 5 est interdite

Et pour la 4, la 3 4 5

Voilà

On est d'accord.

Whoaa finally. Merci énormement pour votre aide. J'ai pu comprendre comment dénombrer intuitivement, j'ai encore un peu de mal mais avec de l'entrinement ça devrait le faire.
Merci encore bonne soirée

Avec plaisir