Niveau Master Maths

Processus de Poisson

Posté par
Serbiwni 20-05-23 à 12:34

Bonjour,  j'aimerais poser une question à propos des processus de Poisson.
Une première définition consiste à voir les processus de Poisson comme une série temporelle $N(t), t \in [0,\infty)$ où le nombre d'arrivées dans un intervalle de longueur T suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda T$ autrement dit $N(s+T)-N(s) \sim Poi(\lambda T)$ et les incréments sont supposés indépendants.

Cette définition est en réalité un cas particulier d'une notion plus large qui fait intervenir la mesure :

Soit $S$ un espace métrique localement compact équipé de sa tribu borélienne $\mathcal B(S)$ . On note $N_S$ l'ensemble des sous-ensembles localement finis de $S$ . On équipe $N_S$ avec la tribu $\mathcal N_S$ engendrée par les applications $f_B :  N_S \to \mathbb{N} , \ \omega \mapsto \# (\omega \cap B )$ où $B$ est un compact de $S$ .

Un processus ponctuel est alors une application mesurable $X$ d'un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal F, \p)$ vers l'espace mesuré   $(N_S, \mathcal N_S)$ .

  Soit $m$ une mesure sur $S$ . Un processus ponctuel $X$ est un processus de Poisson d'intensité $m$ si pour toute famille $B_1, \dots, B_n$ de boréliens disjoints bornés et $\forall k_1, \dots, k_n \in \mathbb N$ , $\mathbb{P}((X \cap B_i) = k_i, 1 \leq i \leq n) =\prod_{i=1}^n \exp(-m(B_i)) \frac{m(B_i)^{k_i}}{k_i!} .$

Posté par re : Processus de Poisson 20-05-23 à 12:36

J'ai publié sans faire exprès et je n'avais pas fini, je disais donc que $\mathbb{P}( card (X \cap B_i) = k_i, 1 \leq i \leq n) =\prod_{i=1}^n \exp(-m(B_i)) \frac{m(B_i)^{k_i}}{k_i!} .$

Cette définition est assez compliquée. Pour moi, un processus de Poisson est un ensemble de points dont le nombre suit une loi de Poisson de paramètre la mesure de cet ensemble, mais je ne me retrouve pas dans la définition mentionnée.