Bonjour Vie.
Avec un petit programme sur ordinateur, on trouve 135 175 518 598.

Bonjour,

C'est de me donner les résultats mais à partir de quoi on les retrouve.

Bonjour.
chiffre des centaines plus carré des chiffres des unités égale au maximum 9+9² - 90.
Par exemple, si le nombre se termine par 7 : on vérifie ceux qui sont compris entre 7³ et7³+90    : 347 357 367 377 387 397 407 417 427.
On n'a pas à vérifier les nombres qui se termine par 0, 1 et 2, car la somme des puissances n'atteint pas 100.
En tout il y a au plus soixante-dix nombres à vérifier.

On peut encore réduire l'effort de recherche et de vérification.
Soit cdu le nombre.
On choisit u.
On compare u à u³ et on en déduit le chiffre par lequel doit se terminer c+d².
c n'ayant qu'une ou deux valeurs possibles, on en déduit le dernier chiffre de d², puis les possibilités pour d.
d² se termine par → d =
0 -> 0
1 → 1 ou 9
2 → impossible
3 → impossible
4 → 2 ou 8
5 → 5
6 → 4 ou 6
7 → impossible
8 → impossible
9 → 3 ou 7

Nombres qui se terminent par 3 : il sont compris entre 100 et 117 (27+90).
u³ = 27; pour arriver à  ce que c+d²+u³ se termine par 3, il faut que c+d² se termine par 6; or c = 1; donc d² se termine par 5 et d = 5; mais 153 ne se trouve pas entre 100 et 117.

Nombres qui se terminent par 4 : ils sont compris en 100 et 164;
u³ = 64; pour arriver à  ce que c+d²+u³ se termine par 4, il faut que c+d² se termine par 0; or c = 1; donc d² se termine par 9 et d = 3 ou 7; 174 ne se trouve pas dans les limites et on vérifie que 134 n'est pas une solution.

Nombres qui se terminent par 5 : ils sont compris entre 126 et 215.
u³ = 125, pour arriver à  ce que c+d²+u³ se termine par 5, il faut que c+d² se termine par 0
si c = 1, d² se termine par 9, d = 3 ou 7 et on vérifie que 135 et 175 sont tous deux des solutions
si c = 2, d² devrait se terminer par 8, mais aucun carré ne se termine par 8.

Nombres qui se terminent par 6 : ils sont compris entre 217 et 306.
u³ = 216, pour arriver à  ce que c+d²+u³ se termine par 6, il faut que c+d² se termine par 0
selon que c égale 2 ou 3, d² devrait se terminer par 8 ou par 7, ce qui est impossible

Nombres qui se terminent par 7 : ils sont compris entre 344 et 433.
u³ = 343, pour arriver à  ce que c+d²+u³ se termine par 7, il faut que c+d² se termine par 4
si c = 3, d² se termine par 1, d = 1 ou 9; 317 est hors des limites et on vérifie que 397 n'est pas une solution
si c = 4, d² devrait se terminer par 0, d = 0, mais 407 n'est pas une solution

Nombres qui se terminent par 8 : ils sont compris entre 513 et 602, donc aucun ne commence par 6.
u³ = 512, pour arriver à  ce que c+d²+u³ se termine par 8, il faut que c+d² se termine par 6
c = 5, d² se termine par 1; d = 1 ou 9 et on vérifie que 518 et 598 sont tous eux des solutions

Nombres qui se termninent par 9 : ils sont compris entre 730 et 819
u³ = 729, pour arriver à  ce que c+d²+u³ se termine par 9, il faut que c+d² se termine par 0
selon que c égale 7 ou 8, d² devrait se terminer par 3 ou 2, ce qui est impossible

Solutions : 135 175 518 598
autres nombres dont il a fallu vérifier la somme c+d²+u³ = 134, 397, 407
Cette méthode n'a nécessité la vérification que de sept nombres, donc quatre sont des solutions !