Niveau autre

puissance d'un point par rapport à un cercle

Posté par
pppa 22-06-16 à 17:09

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à terminer cet exercice.

Soient 3 points fixes  A, B, C alignés dans cet ordre.
est un cercle variable passant par les points fixes A et B.
On mène les tangentes CT_i aux cercles .

1/ Quel est l'ensemble des points T_i ?
      FAIT .  C'est le cercle de rayon $\sqrt{\bar{CA} . \bar{CB}}$

2/ Les cercles coupent la médiatrice de [AB] aux points $E_i$ et $E_{i+1}$ , et les droites $(CE_i)$ recoupent les cercles qui leur correspondent aux points $M_i$ .  Quel est le lieu des points $M_i$ ?

C'est là que j'ai des difficultés. J'ai fait un schéma, sur lequel j'appelle P le milieu fixe de [AB].

$puissance d\'un point par rapport à un cercle$

Je vois que c'est un cercle passant par les points $M_i$ et par C (cercle rouge).

Par contre je ne sais pas déterminer son rayon  non plus que son centre O.

J'essaye d'utiliser la propriété que les triangles $PE_iM_i$ sont rectangles en P.
La puissance de C par rapport aux différents cercles ne m'a rien donné.
J'ai essayé de prouver que  pour 4 points $M_i$ appartenant à deux cercles distincts, il existerait un point sur l'axe radical de ces deux cercles qui prouverait la cocyclicité des $M_i$ , mais je ne trouve pas.

Merci de m'aider à finaliser.

Posté par re : puissance d'un point par rapport à un cercle 22-06-16 à 17:11

Précisions et corrections :

Question 1 : cercle de centre C

Question 2 : lire et non svp.

Merci

Posté par re : puissance d'un point par rapport à un cercle 22-06-16 à 17:24

bonjour,

une idée : angles inscrits et bissectrices de l'angle AMB

Posté par re : puissance d'un point par rapport à un cercle 22-06-16 à 17:43

Bonjour Mathafou

je constate que les bissectrices des angles de sommets $M_i$ , dont les côtés passent resp par A et par B, concourent en un point Q appartenant à (AB) tel que [CQ] est un diamètre du cercle lieu cherché, donc O milieu de [CQ] ; pour autant, je ne (re)trouve pas la propriété qui justifie/explique ce constat de construction.

Peux-tu me guider un peu plus stp, te remerciant déjà de m'avoir mis sur une bonne piste.

Merci par avance

Posté par re : puissance d'un point par rapport à un cercle 22-06-16 à 17:54

arrête de mettre des tas de cercles Mi (ça ne sert que pour faire des conjectures) et ne considères pour la démonstration qu'un seul de ces cercles :

$puissance d\'un point par rapport à un cercle$

il s'agit de montrer que l'intersection de MF avec la droite AB est un point fixe J

nota HS : on t'a parlé précédemment de l'inversion
la relation CM.CE = CA.CB = k, C'est à dire CM = k/CE est la définition de M inverse de E
le lieu de M est donc l'inverse du lieu de E, c'est à dire l'inverse de la médiatrice de AB !
tu auras donc démontré à la fin de cet exo que l'inverse d'une droite est un cercle passant par le pole C d'inversion.
le "cercle d'inversion" lieu des points invariants dans cette inversion, est le cercle de la question 1.