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Puissance d'une matrice

Posté par
Tanguy21 05-04-13 à 19:04

Bonjour, je suis bloqué sur un exo de spécialité math terminale S sur les matrices et leur puissances:
A= $ \begin{pmatrix} \\ 1&1&1 \\ \\ 1&1&1 \\ \\ 1&1&1 \\ \end{pmatrix}$ C = $ \begin{pmatrix} \\ 0&-1&1 \\ \\ 1&0&-1 \\ \\ -1&1&0 \\ \end{pmatrix}$
M=A+C= $ \begin{pmatrix} \\ 1&0&2 \\ \\ 2&1&0 \\ \\ 0&2&1 \\ \end{pmatrix}=I2+\begin{pmatrix} \\ 0&0&2 \\ \\ 2&0&0 \\ \\ 0&2&0 \\ \end{pmatrix}
Dans l'exercice on me demande de calculer M^n en démontrant que M^n=A^n+C^n.
Etant donné que la seule façon de calculer une puissance d'une matrice est d'avoir une matrice diagonale j'ai essayé de décomposer M en une matrice identité (ou unité) et une autre matrice mais je tombe sur: avec D la matrice marqué ci dessus:
M^n=(I+D)^n et je ne peus pas décomposer.
La première question était calculer AC et CA mais je ne vois pas l'utilité ici.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
cailloux Correcteurre : Puissance d'une matrice 05-04-13 à 19:19

Bonjour,

AC=CA= la matrice nulle.

Montre par récurrence que (A+C)^n=A^n+C^n

Posté par
Bachstelzere : Puissance d'une matrice 05-04-13 à 19:20

Récurrence...

Posté par
Barneyre : Puissance d'une matrice 05-04-13 à 19:23

Bonjour,

tu pose qu'au rang n , c'est vrai
tu démontres qu'au rang  n+1  c'est toujours vrai

Posté par
Tanguy21re : Puissance d'une matrice 05-04-13 à 19:28

Merci,
si on considére que c'est bon pour n:
(A+C)^n=A^n+c^n \\ =(A+C)(A^n+C^n) \\ = A^(n+1) +AC^n+CA^n+C^(n+1)
Mais comment je démontre que AC^n=0 j'ai juste démontrer que AC=0.

Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : Puissance d'une matrice 05-04-13 à 19:41

Pour n>1:

AC^n=AC*C^{n-1}

Posté par
Tanguy21re : Puissance d'une matrice 06-04-13 à 11:09

Ok merci, je me sens un peu bête depuis que la prof nous a dit que C*D=0 ne signifie pas que C ou D soit égal à 0 je ne sais plus ce que l'on a droit de faire .
Je suis en train de faire la suite de l'exo et je n'arrive pas a trouver une relation je vous cite l'exo:
Calculer les premiéres puissances de la matrice C. Conjecturer en une expression de C^n on séparera le cas n pair et impair démontrer cette conjecture.
J'ai donc réalisé les calculs:
        -2     1     1
   C^2=  1    -2     1
         1     1    -2

         0     3    -3
  C^3=  -3     0    3
         3    -3     0

       6    -3    -3
C^4= -3     6    -3
      -3    -3     6

       0    -9     9
C^5=  9     0    -9
       -9     9     0
Et j'ai trouvé la relation suivante:
C^n=-3*C^(n-2)
elle marche pour pair et impaire mais je n'arrive pas à la décomposer pour les deux cas.
J'ai trouvé que pour n=3 C^3=(-3)^1*C
et pour n=4 C^4=(-3)^1*C^2
mais je n'arrive pas à écrire la relation vraiment.

Merci d'avance de votre aide

Posté par
cailloux Correcteurre : Puissance d'une matrice 06-04-13 à 11:40

Une conjecture pour n=2p:

C^{2p}=\begin{pmatrix}(-1)^p\times 2\times 3^{p-1}&(-1)^{p+1}\times 3^{p-1}}&(-1)^{p+1}\times 3^{p-1}\\(-1)^{p+1}\times 3^{p-1}&(-1)^p\times 2\times 3^{p-1}&(-1)^{p+1}\times 3^{p-1\\(-1)^{p+1}\times 3^{p-1}&(-1)^{p+1}\times 3^{p-1}&(-1)^p\times 2\times 3^{p-1}\end{pmatrix}

pour n=2p+1, on doit avoir quelque chose du même genre...

Posté par
cailloux Correcteurre : Puissance d'une matrice 06-04-13 à 11:52

n=2p+1:

C^{2p+1}=\begin{pmatrix}0&(-1)^{p+1}\,3^p&(-1)^{p+1}\,3^p\\(-1)^{p+1}\,3^p&0&(-1)^{p+1}\,3^p\\(-1)^{p+1}\,3^p&(-1)^{p+1}\,3^p&0\end{pmatrix}

Posté par
cailloux Correcteurre : Puissance d'une matrice 06-04-13 à 11:56

Aie! erreur:

tex]n=2p+1[/tex]:

C^{2p+1}=\begin{pmatrix}0&(-1)^{p+1}\,3^p&(-1)^{p}\,3^p\\(-1)^{p}\,3^p&0&(-1)^{p+1}\,3^p\\(-1)^{p+1}\,3^p&(-1)^{p}\,3^p&0\end{pmatrix}

Posté par
Tanguy21re : Puissance d'une matrice 06-04-13 à 14:28

Un grand merci, j'avais même pas pensé une seconde à utiliser cette forme d'écriture de 2p , 2p+1
cela m'a permis de finir l'exo.

Posté par
cailloux Correcteurre : Puissance d'une matrice 06-04-13 à 16:04

De rien Tanguy21


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