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Puissance de 13

Posté par
mousse42 01-08-20 à 03:14

Bonjour

Montrer que toute puissance de 13 peut s'écrire comme la somme de deux carrés.

(\forall n\in \N^*)(\exists (a,b)\in \N^2)(13^n=a^2+b^2)

Posté par
Imodre : Puissance de 13 01-08-20 à 08:24

Bonjour

On a :

 Cliquez pour afficher

Imod

Posté par
dpire : Puissance de 13 01-08-20 à 08:28

Bonjour,
Cela va être dur..
Mais au moins  2^{13} =64²+64²

Posté par
jandri Correcteurre : Puissance de 13 01-08-20 à 09:06

Bonjour mousse42,

cela résulte d'une propriété bien plus forte.
Si p est un nombre premier de la forme 4k+1 (comme 5,13,17,\dots) alors pour tout n\in\N^* :
p^n=a^2+b^2 avec a<b et a,b premiers entre eux, cette décomposition étant unique.

Par exemple : 13^1=2^2+3^2, 13^2=5^2+12^2, 13^3=9^2+46^2, 13^4=119^2+120^2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de 13 01-08-20 à 09:50

Bonjour,
Merci d'animer mousse42

@jandri,
La condition "premiers entre eux" rend la question bien plus difficile

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 01-08-20 à 09:58

Bonjour, merci pour vos réponses.

merci jandri pour cette remarque, en effet tu me  poses un problème difficile, alors que le but c'était de vous donner un problème qui me semblait pas si simple.

Là je vais devoir cogiter, malheureusement j'ai moins de temps les week-ends. Donc à très bientôt

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 01-08-20 à 11:19

Re:

jandri : je ne me trompe pas, mais le problème se résume au suivant :

Pour tout p premier, tel que p=1 \pmod 4, il existe (a,b)\in\N^2 tel que p=a^2+b^2 avec a\land b=1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de 13 01-08-20 à 11:30

Il manque un n quelque part, non ?
Et l'unicité.

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 01-08-20 à 11:35

Bonjour Sylvieg

Pour le n c'est une histoire de récurrence, ce n'est pas le plus gros du problème,non?

Pour l'unicité du couple (a,b) oui, c'est un oubli

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 01-08-20 à 11:54

oui, la condition premier entre eux est évidente, c'est ce que tu voulais dire Sylvieg

Posté par
Imodre : Puissance de 13 01-08-20 à 18:28

p^n à la place de p

Imod

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 02-08-20 à 01:04

Bonsoir,

Je n'ai pas pu travailler longtemps dessus, je viens juste de rentrer.

Si on prend un p\in \mathbb{P} qui vérifie p=a^2+b^2

Avec une récurrence en supposant que P(n):p^n=x^2+y^2

p^{n+1} = (x^2+y^2)(a^2+b^2)=x^2a^2 +x^2b^2+y^2a^2+y^2b^2=(xa+yb)^2+(xb-ya)^2

Donc la partie délicate est de montrer que  si p=1\pmod 4 alors il existe un unique couple (a,b)\in \N^2 tel que p=a^2+b^2

Tout ce que j'ai pu tirer de l'énoncé est ceci (en supposant que ce couple existe)

On a :

a<b<p
a\land b=1
a,b n'ont pas la même parité

Voilà, je n'ai pas plus creusé, c'est simplement pour bien cerner le problème .

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 02-08-20 à 09:43

j'ajoute que :

Pour toute somme de deux carrés son produit en facteurs premiers est composé de facteurs tous congrus à 1 modulo 4

Posté par
carpediemre : Puissance de 13 02-08-20 à 12:02

salut

oui tu utilises la classique factorisation de ... je ne sais plus qui ...

mousse42 @ 02-08-2020 à 01:04

Si on prend un p\in \mathbb{P} qui vérifie p=a^2+b^2 avec a et b premiers entre eux

Avec une récurrence en supposant que P(n):p^n=x^2+y^2 avec x et y premiers entre eux

p^{n+1} = (x^2+y^2)(a^2+b^2)=x^2a^2 +x^2b^2+y^2a^2+y^2b^2=(xa+yb)^2+(xb-ya)^2


il te reste à montrer que :

1/ pour tout nombre premier p = 1 [4] il existe des réels a et b tels que p = a^2 + b^2 (l'initialisation)

le fait que  a et b sont premiers entre eux est élémentaires : si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b donc p
donc d = 1 ou d = p
si d = p on en arrive que p divise 1 ... absurde ...   (*)

2/ xa + yb et xb - ya sont premiers entre eux ...

1/ fait partie de la littérature classique en arithmétique ...

2/ si d divise xa + yb et xb - ya alors d divise b(xa + yb) - a(xb - ya) = yp

de même il divise a(xa + yb) + b(xb - ya) = xp

or x et y sont premiers entre eux par hypothèse de récurrence ... et d ne peut être p d'après (*)
donc d divise x et y ... qui sont premiers entre eux ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de 13 02-08-20 à 15:42

Et

Citation :
Pour l'unicité du couple (a,b) oui, c'est un oubli
que fait-on ?

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 02-08-20 à 18:35

Je reviendrai sur ce probleme mardi, je ne suis plus dispo.

Posté par
jarod128re : Puissance de 13 03-08-20 à 10:21

Bonjour, juste en survolant ce topic, je me rappelle d'un autre lu il y a quelques jours où l'on demandait un exemple de récurrence où l'initialisation était plus difficile que l'hérédité. N'est-ce pas un bon exemple ici?

Posté par
jandri Correcteurre : Puissance de 13 11-08-20 à 17:32

Bonjour,

le plus difficile est de démontrer le théorème des deux carrés de Fermat : si p est un nombre premier de la forme 4k+1 (comme 5,13,17,\dots) alors on peut écrire p=a^2+b^2 avec a et b entiers.
Le premier à avoir fourni une démonstration est Euler, il y en a eu beaucoup d'autres depuis.

Si on admet ce théorème, il est assez simple (mais ce n'est pas immédiat) de démontrer le résultat plus général : si p est un nombre premier de la forme 4k+1 alors pour tout n\in\N^* : p^n=a_n^2+b_n^2 avec a_n et b_n premiers entre eux, cette décomposition étant unique à l'ordre près.

L'existence se montre avec la formule rappelée par mousse42 : (x^2+y^2)(a^2+b^2)=(xa+yb)^2+(xb-ya)^2. Cependant, xa+yb et xb-ya ne sont pas toujours premiers entre eux (la démonstration de carpediem n'est pas complète). Par exemple, 5=1^2+2^2 et 5^2=4^2+3^2 donnent 5^3=10^2+5^2

On part de p=a^2+b^2. Pour obtenir p^n=a_n^2+b_n^2 avec a_n et b_n premiers entre eux on peut définir les suites dans \Z par a_{n+1}=aa_n-bb_n et b_{n+1}=ba_n+ab_n , ce qui revient à écrire avec les nombres complexes : a_n+ib_n=(a+ib)^n. On peut alors démontrer que p^n=a_n^2+b_n^2 et que a_n et b_n sont premiers entre eux :

 Cliquez pour afficher

On remplace alors a_n et b_n par leur valeur absolue. Il reste à montrer que le couple (a_n,b_n) est unique (à l'ordre près). Supposons p^n=x^2+y^2=X^2+Y^2 avec x et y premiers entre eux et X et Y premiers entre eux.
On calcule alors (xX+yY)(xY+yX)=p^n(xy+XY) :
 Cliquez pour afficher

On peut aussi démontrer que si p=4k+1 est premier alors : 2p^n=a^2+b^2 avec a et b premiers entre eux.
On montre de la même façon que cette décomposition est unique à l'ordre près.

Pour revenir à la question initiale on peut montrer que si p=4k+1 est premier alors p^n=x^2+y^2 de 1+N façons avec N=\lfloor n/2\rfloor (avec 0\leq x<y, sans imposer x et y premiers entre eux) :

(a_n,b_n), (pa_{n-2},pb_{n-2}), \dots,(p^Na_{n-2N},p^Nb_{n-2N})

Par exemple : 13^3=9^2+46^2=26^2+39^2 et 13^4=119^2+120^2=65^2+156^2=0^2+169^2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Puissance de 13 12-08-20 à 21:13

Bonsoir jandri,
Ton message me semble faire le tour de la question de manière remarquable
Je n'ai pas le temps de le lire en détail ces temps ci, mais ça viendra avec peut-être quelques questions à la clé

Posté par
jandri Correcteurre : Puissance de 13 12-08-20 à 22:10

Bonsoir Sylvieg,

merci pour tes compliments mais toutes les démonstrations ne sont pas de moi.
J'ai essayé d'être clair dans mes explications mais quand on connait bien un sujet il y a des choses qui semblent évidentes alors qu'elles ne le sont pas.
Quand tu auras des précisions à me demander n'hésite pas.

Posté par
mousse42re : Puissance de 13 14-08-20 à 16:06

Bonjour
je n'avais pas vu ta réponse jandri, je vais regarder tout ça tranquillement, merci !


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