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Puissance de 13

Posté par
mousse42
01-08-20 à 03:14

Bonjour

Montrer que toute puissance de 13 peut s'écrire comme la somme de deux carrés.

(\forall n\in \N^*)(\exists (a,b)\in \N^2)(13^n=a^2+b^2)

Posté par
Imod
re : Puissance de 13 01-08-20 à 08:24

Bonjour

On a :

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Imod

Posté par
dpi
re : Puissance de 13 01-08-20 à 08:28

Bonjour,
Cela va être dur..
Mais au moins  2^{13} =64²+64²

Posté par
jandri Correcteur
re : Puissance de 13 01-08-20 à 09:06

Bonjour mousse42,

cela résulte d'une propriété bien plus forte.
Si p est un nombre premier de la forme 4k+1 (comme 5,13,17,\dots) alors pour tout n\in\N^* :
p^n=a^2+b^2 avec a<b et a,b premiers entre eux, cette décomposition étant unique.

Par exemple : 13^1=2^2+3^2, 13^2=5^2+12^2, 13^3=9^2+46^2, 13^4=119^2+120^2.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Puissance de 13 01-08-20 à 09:50

Bonjour,
Merci d'animer mousse42

@jandri,
La condition "premiers entre eux" rend la question bien plus difficile

Posté par
mousse42
re : Puissance de 13 01-08-20 à 09:58

Bonjour, merci pour vos réponses.

merci jandri pour cette remarque, en effet tu me  poses un problème difficile, alors que le but c'était de vous donner un problème qui me semblait pas si simple.

Là je vais devoir cogiter, malheureusement j'ai moins de temps les week-ends. Donc à très bientôt

Posté par
mousse42
re : Puissance de 13 01-08-20 à 11:19

Re:

jandri : je ne me trompe pas, mais le problème se résume au suivant :

Pour tout p premier, tel que p=1 \pmod 4, il existe (a,b)\in\N^2 tel que p=a^2+b^2 avec  a\land b=1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Puissance de 13 01-08-20 à 11:30

Il manque un n quelque part, non ?
Et l'unicité.

Posté par
mousse42
re : Puissance de 13 01-08-20 à 11:35

Bonjour Sylvieg

Pour le n c'est une histoire de récurrence, ce n'est pas le plus gros du problème,non?

Pour l'unicité du couple (a,b) oui, c'est un oubli

Posté par
mousse42
re : Puissance de 13 01-08-20 à 11:54

oui, la condition premier entre eux est évidente, c'est ce que tu voulais dire Sylvieg

Posté par
Imod
re : Puissance de 13 01-08-20 à 18:28

p^n à la place de p

Imod

Posté par
mousse42
re : Puissance de 13 02-08-20 à 01:04

Bonsoir,

Je n'ai pas pu travailler longtemps dessus, je viens juste de rentrer.

Si on prend un p\in \mathbb{P} qui vérifie p=a^2+b^2

Avec une récurrence en supposant que P(n):p^n=x^2+y^2

p^{n+1} = (x^2+y^2)(a^2+b^2)=x^2a^2 +x^2b^2+y^2a^2+y^2b^2=(xa+yb)^2+(xb-ya)^2

Donc la partie délicate est de montrer que  si p=1\pmod 4 alors il existe un unique couple (a,b)\in \N^2 tel que p=a^2+b^2

Tout ce que j'ai pu tirer de l'énoncé est ceci (en supposant que ce couple existe)

On a :

a<b<p
a\land b=1
a,b n'ont pas la même parité

Voilà, je n'ai pas plus creusé, c'est simplement pour bien cerner le problème .

Posté par
mousse42
re : Puissance de 13 02-08-20 à 09:43

j'ajoute que :

Pour toute somme de deux carrés son produit en facteurs premiers est composé de facteurs tous congrus à 1 modulo 4

Posté par
carpediem
re : Puissance de 13 02-08-20 à 12:02

salut

oui tu utilises la classique factorisation de ... je ne sais plus qui ...

mousse42 @ 02-08-2020 à 01:04

Si on prend un p\in \mathbb{P} qui vérifie p=a^2+b^2 avec a et b premiers entre eux

Avec une récurrence en supposant que P(n):p^n=x^2+y^2 avec x et y premiers entre eux

p^{n+1} = (x^2+y^2)(a^2+b^2)=x^2a^2 +x^2b^2+y^2a^2+y^2b^2=(xa+yb)^2+(xb-ya)^2


il te reste à montrer que :

1/ pour tout nombre premier p = 1 [4] il existe des réels a et b tels que p = a^2 + b^2 (l'initialisation)

le fait que  a et b sont premiers entre eux est élémentaires : si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b donc p
donc d = 1 ou d = p
si d = p on en arrive que p divise 1 ... absurde ...   (*)

2/ xa + yb et xb - ya sont premiers entre eux ...

1/ fait partie de la littérature classique en arithmétique ...

2/ si d divise xa + yb et xb - ya alors d divise b(xa + yb) - a(xb - ya) = yp

de même il divise a(xa + yb) + b(xb - ya) = xp

or x et y sont premiers entre eux par hypothèse de récurrence ... et d ne peut être p d'après (*)
donc d divise x et y ... qui sont premiers entre eux ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Puissance de 13 02-08-20 à 15:42

Et

Citation :
Pour l'unicité du couple (a,b) oui, c'est un oubli
que fait-on ?

Posté par
mousse42
re : Puissance de 13 02-08-20 à 18:35

Je reviendrai sur ce probleme mardi, je ne suis plus dispo.

Posté par
jarod128
re : Puissance de 13 03-08-20 à 10:21

Bonjour, juste en survolant ce topic, je me rappelle d'un autre lu il y a quelques jours où l'on demandait un exemple de récurrence où l'initialisation était plus difficile que l'hérédité. N'est-ce pas un bon exemple ici?

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