Niveau exercices

Puissances vs Chiffres

Posté par
Imod 26-11-23 à 12:14

Bonjour à tous

Une petite détente que l'on peut ( doit ) résoudre avec une calculette collège sans robot ou banque de données . On blank si on a vu le truc , sinon on se laisse lire tout simplement .

On recherche tous les couples d'entiers naturels   $(m,n)$ tels que dans le système décimal   $m^m$ s'écrit avec $n$ chiffres et   $n^n$ avec $m$ chiffres .

Comme je suis très gentil , je donne une solution que j'ai trouvée :   $(1,1)$   car $1^1$ s'écrit avec un seul chiffre

Amusez-vous bien .

Imod

Posté par re : Puissances vs Chiffres 26-11-23 à 16:07

Bonjour,
Deux autres solutions :

Cliquez pour afficher

Posté par re : Puissances vs Chiffres 26-11-23 à 17:06

Bonjour,

Les puissances deviennent vite très grandes et l'exposant dépasse
le nombre de chiffres dès ^11--->12 chiffres

Cliquez pour afficher

Posté par re : Puissances vs Chiffres 26-11-23 à 18:02

salut

en notant log le logarithme décimal et E la partie entière d'un nombre alors :

$m^m$ possède $E(m \log m)$ chiffres

on est donc amené à résoudre le système : $\left\lbrace\begin{matrix}m = E(n \log n) \\ n = E(m \log m) \end{matrix}\right.$

ce qui implique que $\dfrac {E(m \log m)} m = \dfrac n {E(n \log n)} (*)$

or si m est supérieur à 10 alors $E(m \log m) \ge E(m) = m$

donc si m et n sont supérieurs à 10 alors les premier est second membres de (*) sont respectivement supérieur à 1 et inférieur à 1

et il n'y a donc pas de solution pour m et n supérieurs à 10

Posté par re : Puissances vs Chiffres 26-11-23 à 18:54

Bonjour à tous

Le tri est fait , m et n sont strictement inférieurs à 10 . Comment justifier simplement que les 3 solutions trouvées sont les seules ?

Imod

@Carpediem : le piège classique , le log base 10 donne le nombre de chiffres moins 1

Posté par re : Puissances vs Chiffres 26-11-23 à 19:19

damned !!

effectivement il faut prendre E(x) + 1 soit le plus petit entier supérieur à x (fonction dont le nom est ??)

mais cela ne change rien au raisonnement

ensuite on déduit immédiatement le cas $m \le 10 \le n$ qui n'admet pas de solution non plus (des encadrements simples suffisent)

et donc pour le cas restant : m et n inférieurs à 10 on peut regarder la préimage des ensembles $[10^n, 10^{n + 1}]$ par la fonction $x \mapsto x^x$

on constate immédiatement qu'on ne peut avoir $m \le 5 \le n$

restent ces deux sous-cas qui se traitent "aisément ...

à moins que tu aies plus mieux bien que moi ?

PS : j'ai mis des inégalités larges ... il faut peut-être mettre des inégalités strictes à certains moment pour plus de rigueur (peut-être)

Posté par re : Puissances vs Chiffres 27-11-23 à 10:47

En fait je n'ai pas très bien beaucoup plus court que toi mais une fois éliminé m= 1 et m>7 , il ne reste que 7 valeurs de m à tester et pour chacune d'entre elles le nombre de chiffres de $m^m$ est $m-1$ ce qui pose problème quand on échange le rôle de m et n .

Imod