Niveau autre

pyramide

Posté par lolivier (invité) 02-03-05 à 16:36

Bonjour !

Voici mon problème :

On veut obtenir une pyramide régulière ayant pour base un octogone régulier de centre O ABCDEFGH et de sommet S.
1)a) Quelles conditions doivent vérifier les longueurs des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD], [SE], [SF], [SG], [SH]?
1)b) On prend SA = 13 cm. Calculer alors SO.

2) On coupe la pyramide SABCDEFGH par un plan parallèle à sa base et passant par le milieu du segment [OS]. On obtient ainsi une petite pyramide.
Exprimer le volume v de la petite pyramide en fonction du volume V de la pyramide initiale SABCDEFGH.

Merci beaucoup !

Posté par re : pyramide 02-03-05 à 17:05

bonjour ,
1.a)
une pyramide régulière signifie que les triangles joignant le sommets sont équilatéraux, donc toutes ces arêtes sont égales

1.b)
SA=AB=OB=13 cm
tu sais que la pyramide est régulière
donc (SO) est perpendiculaire au plan de la base
à l'aide du théorème de Pythagore, tu dois pouvoir trouver SO

2.
la petite pyramide est encore régulière, du fait que le plan est parallèle à la base, donc si on appella A', B', C', D', E', F', G', et H' les points d'intersection du plan avec (SA), (SB), (SC), (SD), (SE), (Sf), (SG) et (SH)
on a alors SA'=SB'=SC'=SD'=SE'=SF'=SG'=SH'
d'autre part, langle A'SB' mesure 60° (idem pour les autres angles)
donc se sont des triangles équilarétaux.

maintenant que tu sais ceci,
tu sais que A'B'C'D'E'F'G'H' est un octogone régulier de côté mesurant SA'

à l'aide du théoèrme de milieu du peux voir que SA'=1/2 SA
donc l'aire de A'B'C'D'E'F'G'H' vaut 1/4 de l'aire de ABCDEFGH
ainsi le volume de SA'B'C'D'E'F'G'H' vaut aire (A'B'C'D'E'F'G'H').SO' = $\frac{1}{4}$ aire(ABCDEFGH). $\frac{1}{2}.$ SO = 1/8 volume (SABCDEFGH)

à toi de tout reprendre

Posté par lolivier (invité)re : pyramide 02-03-05 à 17:16

Merci beaucoup Muriel !

le rayon du cercle circonscrit de l'octogone ABCDEFGH est égal à 5 cm
Pour SO, j'ai trouvé 12 cm.

une pyramide régulière signifie que les triangles joignant le sommets sont équilatéraux, donc toutes ces arêtes sont égales

équilatéraux ou isocèles ?

Je suis ok pour dire que les longueurs des arêtes doivent être égales, mais je me demandais s'il n'y avait pas d'autres conditions à remplir étant donné que dans l'énoncé ils mettent "conditions" au pluriel ? doivent elles être équidistantes des cotés de la base ?

En tout cas, merci

Posté par re : pyramide 02-03-05 à 17:26

vu qu'il te donne 5cm pour le rayon du cerlce, alors ils doivent être isocèles les triangles

pour ce qui est du calcules, je t'avoue que je ne l'ai pas fait

je ne comprends pas ce que tu veux dire par:
"doivent elles être équidistantes des cotés de la base ?"

pour moi, ils sont juste de même longueur

Posté par lolivier (invité)re : pyramide 02-03-05 à 17:42

je ne comprends pas ce que tu veux dire par:
"doivent elles être équidistantes des cotés de la base ?"

Les angles ASB, BSC, CSD, DSE, ESF, FSG, GSH doivent être égaux
Il n'y aurait pas une histoire de projetté orthogonal ? je veux dire que SO doit être perpendiculaire à [AO], à [BO], [CO], [DO], [EO], [FO], [GO]et à [HO]?

Le volume d'une pyramide, c'est bien aire de la base * hauteur divisé par 3 ?
Faut-il calculer l'aire de ABCDEFGH ? et si oui, comment ?

Merci encore

Posté par re : pyramide 02-03-05 à 17:57

(SO) est bien orthogonale à toutes ces doirtes, car (SO) est perpendiculaires au plan de la base

à oui, j'ai oublié le divisé par 3, mais cela ne change pas le résultat.
tu n'as pas besoin de calculer l'aire de ABCDEFGH, il faut juste que tu saches que l'aire de A'B'C'D'E'F'G'H' vaut un quart de l'aire de ABCDEFGH

tu as donc:
$5$\begin{array}{ccc}V(petite pyramide)&=&\frac{aire(A'B'C'D'E'F'G'H')\times SO'}{3}\\\;&=&\frac{\frac{aire(ABCDEFGH)}{4}\times \frac{SO}{2}}{3}\\\;&=&\frac{1}{8}\frac{aire(ABCDEFGH)\times SO}{3}\\\;&=&\frac{V(grande pyramide)}{8}\\\end{array}$

voilà