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Quadrilatères inscriptibless
Bonjour,
Soit [AB] une corde d'un cercle (E).
Soit C et D deux points distincts du petit arc AB.
Soit I le milieu de l'autre arc (grand arc AB).
Les droites (IC) et ( ID) coupent la droite (AB) respectivement en M et N.
Prouver que le quadrilatère CDNM est inscriptible.
Réponse : 
On a , car interceptent le même arc
passant par B.
Et on a
Et nous savons que :
avec l'angle ICD = l'angle MCD.
D'où les deux angles opposés MND et MCD sont supplémentaires.
Conclusion : CDNM est un quadrilatère inscriptible.
Merci de me corriger.
Bonjour,
Il me semble que rien de ce que tu as écrit n'est correct.
Par exemple :
Tu écris : angle(ICD) = angle(DIB) car interceptent le même arc passant par B.
C'est faux, l'angle(DIB) intercepte l'arc DB et pas le ID.
Tu écris : angle INB = angle(IMB)
C'est faux. Pourquoi serait-ce le cas ?
. . .
Rebonjour,
J'ai oublié de rappeler ce que j'ai déjà dit dans un autre post, est qu'il faut faire un dessin qui ne risque pas d'entrainer des erreurs.
Ici, tu dessines CD parallèle à AB, ce qui est un cas tout à fait particulier. Ceci pourrait entraîner par la suite des erreurs dans les raisonnements.
Rebonjour,
Marche à suivre (entre plein d'autres) pour une résolution :
- Montrer que les arcs IA et IB sont égaux.
- En conclure que : angle(ACI) = angle(BCI)
- Montrer que les triangles IAM et ICA sont semblables (de même forme dit-on aujourd'hui).
(Car angle en I en commun et angle(IAM) = angle(ACI) (car interceptent des arcs égaux)
- On en conclut que IA/IC = IM/IA et donc IM.IC = IA²
- Par une méthode analogue, montrer que les triangles IAN et IDA sont semblables.
- On en conclut que : IN.ID = IA²
- On a donc : IM.IC = IN.ID, soit : IM/IN = ID/IC
- on montre alors que les triangles IMN et IDC sont semblables (angle en I en commun et des cotés proportionnels adjacents à cet angle)
- On en conclut que angle(IMN) = angle(IDC)
Comme angle(CMN) est supplémentaire à angle(IMN) (voir sur le dessin, car …), les angles opposés du quadrilatère CDMN sont supplémentaires et le quadrilatère est donc inscriptible
************
Il reste à bien compléter et expliquer tout cela ... ou bien trouver une autre méthode.
Bonjour,
Avec des angles orientés de droites :
((CD),(CM)) = ((CD),(CB)) + ((CB),(CI))
((CD),(CB)) = ((ID),(IB)) car B,C,D,I cocycliques
((CB),(CI)) = ((AB),(AI)) car A,B,C,I cocycliques
((AB),(AI)) = ((IB), (BA)) par symétrie par rapport à la médiatrice de AB
Donc
((CD),(CM)) = ((ID),(IB)) + ((IB), (BA)) = ((ID),(BA)) = ((ND),(NM))
ce qui montre que C,D,M,N sont cocycliques
Remarque : on n'a nulle part utilisé que C et D sont "sur le petit arc AB".
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