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Quatre triangles de même aire

Posté par
Imod
20-07-21 à 11:08

Bonjour à tous

Un exercice que j'ai trouvé sur la toile sans solution . J'ai une réponse avec un peu de calcul et j'aimerais savoir comment les distingués géomètres du site aborderais le problème .

Sur la figure suivante les quatre triangles grisés ont une aire égale à 1 , quelle est l'aire des quadrilatères ?

Quatre triangles de même aire

Merci d'avance pour vos réponses

Imod

PS : inutile de blanker .

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 20-07-21 à 19:01

Bonjour,
Celui-là il va être dur...merci

l'aire totale est voisine de 13 je  dirais 9 pour la somme des quadrilatères .
(je ne sais comment les cadors aborderaient le pb)

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 09:22

Je pense qu'il y a beaucoup trop d'inconnues ,pourtant ce cas de figure  doit être réel et unique..
Approximativement  un triangle  6.3,  6.4,  4.7

Posté par
vham
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 09:41

Bonjour,

Un triangle équilatéral pour réduire le nombre d'inconues....

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 09:44

Merci Dpi pour ton intérêt

En fait la forme du triangle n'a pas d'importance , tu peux tout à fait considérer qu'il est équilatéral ce qui permet d'engager rapidement les calculs ( ou l'estimation des aires ) .

Imod

Posté par
vham
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 09:51

D'inconnues

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 10:41

Bonjour Vham , une illustration pour homogénéiser les notations :

Quatre triangles de même aire

Imod

Posté par
ty59847
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 17:20

Le découpage en rouge et jaune aide bien.

Chaque quadrilatère aurait donc une surface de \frac{4}{\sqrt{5}-1}   si je ne me suis pas trompé dans mes calculs.

Posté par
ty59847
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 17:26

Calcul :

 Cliquez pour afficher

Posté par
ty59847
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 17:28

Et effectivement, à partir d'un triangle quelconque, en choisissant les 3 points A G H avec ce bon ratio, ça marche.

Posté par
ty59847
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 17:56

Oups,  \frac{4}{\sqrt{5}-1} , ça se simplifie en \sqrt{5}+1 !

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 18:16

Encore un coup du père de

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 18:18

C'est ça Ty59847

J'avais procédé un peu différemment mais ça revient au même . Il sont plutôt bluffants ces petits exercices

Imod

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 18:37

Cela donnerait pour un triangle équilatéral un coté de 6.47213955

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 18:56

Tu es sur ? Je trouve une expression en radicaux voisine de 5,63 .

Imod

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 20:48

J'ai une erreur en effet:
Le coté mesure  5.32652121

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 20:48

grrr
5.62652121

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 21-07-21 à 23:00

Et si on aime  les valeurs exactes :

\sqrt{\frac{28\sqrt{3}+12\sqrt{15}}3}  
Imod

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 22-07-21 à 08:09

La présence de est remarquable.

Nous avons vu que la somme des aires des quadrilatères est
égale à 6.
Sans l'avoir démontré je présume que GI/CG=

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 22-07-21 à 10:16

Oui , le nombre d'or est partout dans la figure : \displaystyle{ \frac ec=\frac ab = \frac da=\varphi .}

Imod

Posté par
dpi
re : Quatre triangles de même aire 22-07-21 à 11:53

Ce fut donc un bel  exercice

Posté par
jandri Correcteur
re : Quatre triangles de même aire 23-07-21 à 22:48

Bonjour,
merci à Imod pour ce très bel exercice.

Mais dans l'énoncé initial rien n'indique que les triangles rouges (resp jaunes) ont la même aire (figure de Imod du 21-07-21 à 10:41).
En fait c'est une hypothèse superflue car on peut démontrer très simplement que si les quatre triangles verts ont une aire égale à 1 alors les 6 autre triangles (rouges et jaunes) ont une aire égale au nombre d'or (quelle que soit la forme du grand triangle). Il suffit d'utiliser habilement la propriété que pour deux triangles de même hauteur le rapport des aires est égal au rapport des bases.

Pour la démonstration je note R_1,R_2,R_3 les aires des triangles rouges (IDG,EBH,CFA) et J_1,J_2,J_3 celles des jaunes (IBD,EFB,CDF).

 Cliquez pour afficher

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 24-07-21 à 00:15

Oui Jandri , c'est une autre façon de voir les choses mais le fait que les triangles jaunes et rouges aient la même aire n'a jamais été une hypothèse ( donc certainement pas superflue ) .

Les aires ne dépendent pas de la forme du triangle mais ta démonstration évite cette connaissance , du coup cet exercice est parfait pour un bon lycéen

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Quatre triangles de même aire 24-07-21 à 08:31

Bonjour,
Oui, très bel exercice
Que j'ai cherché depuis le début... sans trouver de solution.

Il me semble que la démonstration proposée par ty59847 sous entend que les triangles de même couleurs ont la même aire.
Quand il écrit "2Rouge+2Jaune+2Vert" par exemple.
Elle s'appuie sans doute sur le cas particulier d'un triangle équilatéral ; alors que la démonstration de jandri fonctionne dans un triangle quelconque.

Avez-vous remarqué que les points B, F et D sont des milieux ?

Posté par
ty59847
re : Quatre triangles de même aire 24-07-21 à 10:13

Dans ma démonstration, je passais très vite (trop vite)  sur la démonstration que les 3 triangles rouges avaient la même surface, et pareil pour les 3 jaunes.

En fait, les notations proposées par lmod anticipaient ça...  Ca aurait été mieux de noter les longueurs : e, e' et e", c, c' et c" ...
A nous de bien positionner les points pour que e/c = e'/c' = e"/c"
Et dès que ceci est vérifié, la démonstration que les 3 triangles rouges ont la même surface est immédiate, et pareil pour les 3 jaunes.

Les exercices de géométrie sont souvent des exercices très intéressants.

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 24-07-21 à 12:29

J'aimerais revenir sur le problème du triangle équilatéral qui ne serait qu'un cas particulier ( avec une démonstration qui serait donc critiquable )  . La figure initiale peut être transformée en un triangle équilatéral à l'aide d'une bijection affine qui va conserver le rapport des aires , on ne perd donc aucune généralité en se plaçant dans ce cas particulier .  Cette astuce permet de résoudre simplement des problèmes qui pourraient être plus complexes dans le cas général . D'un autre côté , comme le problème est affine , il peut être résolu sans la géométrie euclidienne ( que j'avais personnellement utilisée ) .

Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 10:17

Je suis d'accord avec ce qu'a écrit Imod : une bijection affine conserve le rapport des aires donc on peut supposer le grand triangle équilatéral pour la démonstration.

En revanche, je ne comprend pas la justification donnée par ty59847 quand il écrit "A nous de bien positionner les points pour que e/c = e'/c' = e"/c" " pour prouver que les 3 triangles rouges ont la même surface.

Les hypothèses se réduisent à "les quatre triangles verts ont une aire égale à 1", on n'a aucune information sur la position des points A, H et G (dessin d'Imod du 21-07-21 à 10:41).

Je n'avais pas remarqué ce que Sylvieg a remarqué : l'égalité des aires des triangles rouges et jaunes prouve que B est le milieu de [AI] (idem pour F milieu de [EG] et D milieu de [CH]).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 11:15

Le nombre de triangles dont on peut exploiter qu'ils se partagent la même hauteur est impressionnant !

Posté par
GBZM
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 12:15

Bon dimanche !

Et que peut-on dire si les quatre triangles sont de pépère ?

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 12:20

En effet , la figure est particulièrement riche et rien que justifier les notations de l'illustration que j'ai proposée n'est pas une simple partie de plaisir

J'indique comment j'avais fait les calculs même si c'est un peu lourd à posteriori :

Les aires des triangles BDF et AEF sont égales donc bd=a².
Thalès dans le triangle DEI : cd=ae .
Menelaus dans ABC avec les points D,E,F : cd=b(c+e) .

On mélange tout ça et on arrive à la conclusion .

Imod

PS : l'étoile formée par le triangle central et les triangles jaunes est particulièrement élégante  , peut-être le nombre d'or


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 17:08

@GBZM,
Triangles pépères

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 17:29

La chaleur diminue mes capacités linguistiques
Avant d'atterrir , j'ai trouvé un truc amusant :

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 17:30

Et bonne fin de dimanche à tous

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 19:13

@GBZM

J'ai pas trop compris la question , qu'est-ce qu'elle veut dire  

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Quatre triangles de même aire 25-07-21 à 19:54

Je ne suis pas la seule à être peu réactive
Un indice : Lire le titre du sujet puis la question de GBZM à haute voix

Posté par
Imod
re : Quatre triangles de même aire 26-07-21 à 11:52

J'avais bien compris la blague "même aire et pépère" mais je n'ai  toujours pas compris la question . Le plus simple serait peut-être de formuler la question simplement sans jeu de mollet .

Imod



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