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racine de polynomes

Posté par
worahj 17-07-09 à 20:48

bonjour un petit exercice tombé a l'X accessibles dès la sup ( assez tendu quand même je trouve )
Soit P scindé à racines réelles, soit a

montrer que toute des les racines de P + aP' sont réelles

J'ai distingué 2 cas en fonction de l'ordre de multiplicité des racines etles racine multiples me posent un petit soucis. Bonnes réflexions et bonnes vacances

Posté par
J-Rre : racine de polynomes 19-07-09 à 09:17

vraiment personne ? parce que cela m'intéresse aussi ...

je crois me rappeler que pour le cas a=1 on doit se servir de x->P(x)e^x mais sans grande conviction puisque j'arrive rien à faire avec cela ...
possibilité de généraliser ? ou c'est une tout autre méthode ?

merci

Posté par
worahjre : racine de polynomes 22-07-09 à 00:12

Slt J-R comme tu t'en doute a appartient à et on a n appartenant a le degres du polynomes merci de chercher également

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Posté par
J-Rre : racine de polynomes 23-07-09 à 17:10

euh je vois pas trop ... on a: 1+a\bigsum_{k=0}^n\frac{1}{X-a_k} avec a_k les rac de notre poly ...

mais pour le d° ?!?

Posté par
worahjre : racine de polynomes 23-07-09 à 17:35

Slt J-R

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Posté par
J-Rre : racine de polynomes 24-07-09 à 12:13

en supposant ordonné a_1<...<a_n

entre a_i et a_{i+1} notre polynôme s'annule ce qui nous fait seulement n-1 racines réelles (ex :pour a>0 (sinon c'est l'inverse) en a_1+ ça tend vers +oo et en a_2- vers -oo donc ya bien une racine)

mais P+aP' a n racines (étant de d°n). si la dernière racines était complexe elle aurait une racine conjuguée distincte : contradiction

donc on a bien en fait n racines réelles.

mais cela dans le cas des racines simples...

ensuite on peut déblayer le cas où toutes les racines sont d'ordre \ge 2.

il reste le cas où l'on a des racines simples et des racines doubles.

je regarde.

Posté par
J-Rre : racine de polynomes 24-07-09 à 12:14

oué notre polynome s'annule au moins une fois entre a_i et a_{i+1} mais comme on applique cela n-1 ça marche...

Posté par
J-Rre : racine de polynomes 29-07-09 à 10:26

pas d'idée dans le cas le plus général ?

Posté par
blangre : racine de polynomes 29-07-09 à 12:56

Bonjour

Tout d'abord, notons qu'on peut supposer 3$ a \not =0.

Si 3$ P= \prod_{k=1}^{m} (x-\alpha_k)^{\mu_k}, avec 3$ \alpha_k \in \mathbb{R} et 3$ \mu_k \in \mathbb{N}^*  alors 3$ \frac{P+aP^'}{P}=1+ a \sum_{k=1}^{m} \frac{\mu_k}{X-\alpha_k}
Si P+aP' possédait une racine non réelle 3$ x+i\omega avec 3$ (x,\omega) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^* on obtiendrait, en posant 3$ x_k=x-\alpha_k : 3$ 0=1+a \sum_{k=1}^{m} \frac{\mu_k}{x_k+i\omega}=1+a \sum_{k=1}^{m} \frac{\mu_k(x_k-i\omega)}{x_k^2+\omega^2}=1+a \sum_{k=1}^{m} \frac{\mu_k x_k}{x_k^2+\omega^2}-i a \omega \sum_{k=1}^{m} \frac{\mu_k}{x_k^2+\omega^2}, ce qui est impossible car 3$ \sum_{k=1}^{m} \frac{\mu_k}{x_k^2+\omega^2}>0.

Remarque : On peut effectivement traiter différemment le cas où P est à racine simples. En effet si on note 3$ n le degré de P, la fonction 3$ f : x \mapsto e^{\frac{x}{a}}P(x) s'annule donc 3$ n fois sur 3$ \mathbb{R} et d'après le théorème de Rolle, sa dérivée  3$ f^' : x \mapsto \frac{1}{a} e^{\frac{x}{a}}(P(x)+aP^'(x)) s'annule au moins 3$ n-1 fois sur 3$ \mathbb{R}. Le polynôme P+aP' étant de degré 3$ n et possédant au moins 3$ n-1 racines réelles, toutes ses racines sont bien réelles.

Posté par
J-Rre : racine de polynomes 29-07-09 à 19:38

re,

merci blang pour la solution détaillée c'est nickel

@+


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