Niveau exercices

Racine incontrollable

Posté par
Eurotruck 24-01-10 à 16:10

Bonjour,
Pour p un réel positif, démontrer que
$5$\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+...+\sqrt{p}}}}$ = $5$\frac{1+\sqrt{(4p+1)}}{2}$ .

Blank non exigé

Posté par re : Racine incontrollable 24-01-10 à 16:25

Par contre je ne suis pas sur c'est bon si on met Vp à la fin donc j'écris
quand même
$5$\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+....$ = $5$\frac{1+\sqrt{(4p+1)}}{2}$

Il faut reprendre par cette question

Posté par re : Racine incontrollable 24-01-10 à 16:39

Bonjour.

C'est la seconde écriture la bonne.

Tu remarques que si l'on pose :

$3$\textrm u_n = \sqrt{p+\sqrt{p+...+\sqrt{p}}}$ alors :

$\textrm u_{n+1} = \sqrt{p+u_n}$

Posté par re : Racine incontrollable 24-01-10 à 16:43

Bonjour raymond,

Merci d'avoir levé mon incertitude
Vous avez une idée de démo alors?

Posté par re : Racine incontrollable 24-01-10 à 16:45

Etudie cette suite : est-elle croissante et majorée ?

Passe alors à la limite L en résolvant l'équation :

$\textrm L = \sqrt{p+L}$

Posté par re : Racine incontrollable 24-01-10 à 17:01

J'ai fait comme ceci

On pose S = $5$\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+....$
On ajoute p à S on prend sa racine qui est égal à S encore car S ne s'arrete pas.
S+p=S² et on trouve l'expression demandée...

Posté par re : Racine incontrollable 24-01-10 à 17:39

Attention, pour pouvoir trouver S, tu dois avant prouver que la suite est bien convergente.