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Racine n-ième dans C

Posté par
bouchaib 15-07-25 à 00:42

Bonsoir,

  Exercice : Résoudre dans :

(Z+1)^5 - (Z-1)^5=0.

Réponse :   l'équation \Leftrightarrow (\frac{Z+1}{Z-1})^5=1 .

On pose  petit  z=( Z+1)/(Z-1), l'équation  

\Leftrightarrow z_{k}=e^{\frac{i(2k\pi)}{5}} , K\in \{0; 1; 2; 3; 4 }.

z=\frac{Z+1}{Z-1} \Leftrightarrow z.Z-z= Z+1 \Leftrightarrow Z=\frac{z+1}{z-1}..

Z=\frac{e^\frac{i.2k\pi}{5}+1}{e^\frac{i.2k\pi}{5}-1} , k[0;4].

Pour   Z0= 1/0, ce qu'est impossible donc pour k=0 il n'y a pas de solution pour cette équation.
Pour  le reste k=1 , k=2, k=3, k=4  les solutions sont possibles en remplaçant à chaque fois la valeur de k dans  l'expression de Z.

Merci de me corriger.





Posté par
MattZolotarevre : Racine n-ième dans C 15-07-25 à 04:57

Salut,
Le résultat me semble correct.
Par contre, il faut faire des efforts de rédaction : évacuer d'entrée le cas Z=1 (en le justifiant), pour résoudre l'équation sur \mathbb{C}\setminus\{1\} afin de pouvoir parler d'équivalence ; de manière générale, attention à l'utilisation du signe \Longleftrightarrow (pour éviter les imprécisions, on peut même procéder par analyse-synthèse, quitte à dire simplement dans la synthèse "On remonte les calculs pour vérifier que les solutions trouvées sont bien celles de l'équation"); penser peut-être à écrire les solutions de l'équation plus simplement (ici la fonction cotangente saute aux yeux !) ; éviter d'écrire "1/0", même pour signifier que cette fraction n'a pas de sens ; ...

En espérant avoir pu aider

Posté par
bouchaibre : Racine n-ième dans C 15-07-25 à 10:39

Bonjour,
Merci.

Posté par
carpediemre : Racine n-ième dans C 15-07-25 à 12:13

salut

ensuite je pense qu'il faut simplifier

bouchaib @ 15-07-2025 à 00:42

Z=\dfrac{e^\frac{i.2k\pi}{5}+1}{e^\frac{i.2k\pi}{5}-1} avec  k [0, 4].
en factorisant numérateur et dénominateur par w = e^\frac{i.k\pi}{5}

le numérateur et le dénominateur s'écrivent alors w + w* et w - w*  où w* est le conjugué de w


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