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Niveau terminale
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Racines

Posté par
motdepasse 17-10-16 à 14:05

Bonjour,

J'ai une question qui est sûrement bête mais je doute donc je préfère demander. Peut-on simplifier (6)/4 par (3)/2 ?

Merci

Posté par
sanantonio312re : Racines 17-10-16 à 14:09

Bonjour,
Non, on ne peut pas. La preuve:
(6)/4=6/16=(3/8)
(3)/2=3/4=(3/4)

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Racines 17-10-16 à 14:10

Bonjour,

Citation :
Peut-on simplifier (6)/4 par (3)/2 ?


que veux-tu dire exactement ?

Posté par
Pirhore : Racines 17-10-16 à 14:11

\sqrt{6}=\sqrt{3}\sqrt{2}

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 14:21

Mais comment je fais mon exercice alors?

J'ai sin b= (6 - 2)/4 et je dois trouver le cosinus... Donc si (6 - 2)/4= (3)/2 - (1)/2 ça aurait été plus facile, non...?

Alors comment je dois procéder svp?

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 14:27

Bonjour

\sin^2x+\cos^2x=1

cos^2x=1-\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 14:31

C'est normal si je trouve cos^2 x = 0 ? J'ai appliqué la formule que vous avez donnée hekla mais ça a l'air faux...

Posté par
gerrebare : Racines 17-10-16 à 14:36

Détaille ton calcul...

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 14:40

cos^2 x = 1 - ((6-2)/4)^2
=1- (6-2/4)
=1 - (4/4)
=1 - 1
= 0

Je sais que je ne suis pas très bonne en calcul, donc ça ne m'étonne pas de m,être trompée...

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 14:40

1-\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{16}=\dfrac{16-(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{16}

mettez vos calculs

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 14:42

rappel

\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 14:50

Mais bien sûr! Faut que je bosse encore beaucoup... Faire des erreurs comme ça au bac, ce serait impardonnable...

Don on a cos^2 x = 12/16 ?

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 15:00

non \cos^2x=\dfrac{16-(6+2-4\sqrt{3})}{16}

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 15:10

Mais pourquoi?
6 ^2 = 6 non? Et 2 ^2 = 4 non?
Alors d'où vient le -43 ??

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 15:14

(\sqrt{6})^2=6\ ;\quad (\sqrt{2})^2=2\ ;\quad 2\sqrt{6}\sqrt{2}=2\sqrt{12}=2\sqrt{4\times 3}=2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 15:23

Mais pourquoi il faut multiplier les racines par deux? Pourquoi on ne peut pas les laisser "simples"?

Posté par
fenamat84re : Racines 17-10-16 à 15:28

Le double produit de l'identité remarquable... il ne faut pas oublier....

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 16:31

Ah oui...

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 17:34

\cos b= ?

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 19:39

J'arrive plus trop à suivre mais bon...

cos^2 b = (8 + 43)/16
cos b = ((8 + 43)/16)

Je doute que ce soit bon...

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 19:51

oui mais il faut simplifier

\cos^2x=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{16}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}

\\ \cos x=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 20:07

D'accord merci

Maintenant je dois calculer cos (a+b) et sin (a-b) sachant que:
sin a = 1/2
cos a= 3/2
sin b = (6-2)/4
cos b= ((2+3))/2

Donc j'applique la formule mais à un moment je bloque...
cos (a+b)= cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)
cos (a+b) = (3/2) (((2+3))/2) - (1/2) ((6-2)/4)
=...

Là je ne sais pas comment multiplier ((2+3) par 3. Est-ce que ça fait ((2+3))/2 ?

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 20:18

\cos(a+b)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}


\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}\times \sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}=\dfrac{\sqrt{3\times(2+\sqrt{3})}}{4}

Posté par
motdepassere : Racines 17-10-16 à 20:33

D'accord merci ! Je continuerai demain. Bonne nuit

Posté par
heklare : Racines 17-10-16 à 20:35

bonne nuit

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 08:59

Bonjour,

Voilà ce que j'ai fait:
cos (a+b) = (3((2+3))/4  -  (6 + 2)/8
= ((6(46))-6+2)/8

Est-ce que c'est juste? Est-ce que je peux supprimer des 6?

Posté par
fenamat84re : Racines 18-10-16 à 10:40

Bonjour,

Tu t'es un peu embrouillée dans tes calculs...

En continuant les calculs d'Hekla que je salue au passage... :

\frac{\sqrt{3*(2+\sqrt{3}})}{4}=\frac{\sqrt{6+3\sqrt{3}}}{4}.

Ensuite, la tâche la plus difficile consistera à démontrer que ceci est aussi égal à : \frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}.

Car, de ce fait, on obtiendra à l'arrivée :

cos(a+b)=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{8}=\frac{4\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Reste à démontrer ce que j'ai dit plus haut : à savoir que \frac{\sqrt{6+3\sqrt{3}}}{4}=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}.

Je vais te donner quand même une indication pour y arriver :
Développes (\sqrt{6}+3\sqrt{2})².

Posté par
heklare : Racines 18-10-16 à 11:52

bonjour fenamat84

certes on connaît le résultat final   mais comment penser à cette écriture sans que cela ait l'air d'un parachutage ?

Posté par
fenamat84re : Racines 18-10-16 à 12:05

@Hekla : Certes on ne pense pas instantanément à démontrer que \sqrt{6+3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2} !!

Généralement, dans ce genre d'exercice, on pose souvent une question préliminaire à savoir tout d'abord développer (\sqrt{6}+3\sqrt{2})² pour ensuite l'utiliser dans une question ultérieure...

Mais en classe de Terminale, l'élève doit déjà apprendre à raisonner mathématiquement. Ici, la solution n'était vraiment pas simple, donc je lui ai donné une indication pour la permettre d'avancer...

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 16:30

fenamat84 @ 18-10-2016 à 10:40

Développes (\sqrt{6}+3\sqrt{2})².

Le calcul ce n'est pas mon fort mais voilà ce que j'ai fait:
(\sqrt{6}+3\sqrt{2})² = 6 + (9*2) = 6 + 18 = 24

Mais je ne vois pas où vous voulez en venir fenamat84... Je vous avouerai même que je ne suis plus le fil...

Posté par
fenamat84re : Racines 18-10-16 à 16:41

Tu as cette manie de toujours oublier le double produit lors de tes calculs d'identité remarquable !! Il faut que tu l'aies toujours en tête et que ça devienne mécanique (surtout en Terminale) !!!

(a+b)² = a² + 2ab + b² !!

Donc: (\sqrt{6}+3\sqrt{2})²=6+2*\sqrt{6}*3\sqrt{2}+(9*2)=...

Je te laisse terminer...

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 17:07

Quand on a dû se débrouiller seul, c'est normal qu'on ne pense pas toujours à tout! Je suis consciente d'être en terminale S et d'avoir des lacunes, mais au moins j'essaye! J'en ai marre qu'on me reproche d'être nulle et qu'on soit déçu par mon niveau!! Je le suis aussi mais je fais des efforts alors n'ayez pas l'air aussi désespéré svp! Tout n'est pas évident pour tout le monde!!!
Vous voulez savoir? Presqu'à chaque cours de maths je suis au bord des larmes parce que j'ai du mal à comprendre et pourtant je n'ai jamais pleuré et j'arrive à avoir d'assez bonnes notes après avoir passé des nuits à faire des exercices et avoir sauté des repas pour réviser. De plus je suis en spé maths, donc coeff 9 au bac, je sais que ça compte beaucoup mais j'aime les maths et je vais y arriver. J'aurai mon abibac avec mention très bien, j'aurai mes deux concours, je réussirai tout, mais n'essayez pas de me décourager, sinon je n'y arriverai jamais...

Posté par
fenamat84re : Racines 18-10-16 à 18:05

Je ne te critique pas, tout le monde peut faire des erreurs de calculs !! Je suis moi même le premier à en faire...
C'est à force de faire beaucoup d'exercices qu'on acquiert peu à peu les automatismes indispensables plus tard... Il faut s'entraîner encore et encore...
Mais tu as des notions (ici les identités remarquables) dont tu utiliseras quasiment tout le temps lors de tes calculs, et il est indispensable, je dis bien indispensable, que tu les maîtrises par cœur !! Car à l'avenir, tes futurs professeurs ne reviendront jamais sur ce problème, car pour eux l'erreur est simple car sensé être acquise depuis le collège...
Donc, développement, identités remarquables et factorisation sont des notions à acquérir parfaitement. Essaies de t'entraîner sur ces points afin que cela devienne mécanique et que tu fasses de moins en moins d'erreurs.

Bref, je ne vais parler de ça pendant des lustres, mais l'essentiel est de terminer ton exercice tout de même...
As-tu pu terminer le calcul que je viens de demander ?

Posté par
fenamat84re : Racines 18-10-16 à 18:11

Et puis je ne suis pas là pour te rabaisser !! Au contraire, je suis là pour te permettre de progresser !! Peu importe la vitesse de progression, l'objectif est que tu sois opérationnel lors du baccalauréat...

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 18:58

J'ai essayé mais je n'y arrive pas. Voilà ce que j'ai fait:

(V6 + 3V2)^2 = 6 + (2V6) (3V2) + (9*2)
= 6 + (2V2V3) (3V2) + 18
= 24 + 6V2 + 3(V2)^2  + 3V2V3
= 24 + 6V2 +(3*2) + 3V2V3
= 24 + 6V2 + 6 +3V2V3
= 30 + 6V2 + 3V6
=30 + ...

Et je n'arrive pas à finir...

Posté par
heklare : Racines 18-10-16 à 19:10

2\sqrt{6}\times (3\sqrt{2})=2\times 3\times \sqrt{6}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}=

Posté par
fenamat84re : Racines 18-10-16 à 19:23

Ce n'est pas encore ça. Je comprends ta principale difficulté : c'est lorsque tu as affaire à des calculs comportant des racines carrées...
2 formules :
\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}
et \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

Je vais te donner un conseil : lorsque tu peux faire des simplifications, essaies de le faire immédiatement.

D'une part tu as 6+18 = 24 (ça ok tu as compris)
D'autre part le calcul : (2V6)(3V2), ce ne sont que des produits, simplifies tant que c'est possible ! Cela donne : 2*3*V6*V2 = 6V6V2.
Tu peux encore arranger le calcul de V6V2 = V12 =  V(4*3) = 2V3.
Au final cela donne : 24 + 6*2V3 = 24 + 12V3 = 4( 6 + 3V3) (j'ai mis 4 en facteur car cela va mettre utile juste après)

Ainsi : (\sqrt{6}+3\sqrt{2})²=4(6+3\sqrt{3}).
En passant à la racine carrée, tu as alors la relation entre \sqrt{6+3\sqrt{3}} et \sqrt{6}+3\sqrt{2}.

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 19:50

fenamat84 @ 18-10-2016 à 19:23

En passant à la racine carrée, tu as alors la relation entre \sqrt{6+3\sqrt{3}} et \sqrt{6}+3\sqrt{2}.


Mais...
(4(6+3V3))^2 = 16 (36+(3*3))= 16*45 = 720
et
(V(6+3(V3)))^2 = 36 + (9*3) = 63

Je ne comprends plus rien là.....

Posté par
heklare : Racines 18-10-16 à 20:08

vous venez de montrer que \left(\sqrt{6}+3\sqrt{2}\right)^2=4(6+3\sqrt{3})

on prend la racine carrée

\sqrt{\left(\sqrt{6}+3\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{6}+3\sqrt{2}

\sqrt{4\left(6+3\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{6+3\sqrt{3}}

donc \sqrt{6}+3\sqrt{2}=2\sqrt{6+3\sqrt{3}}

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 20:14

Ah mais oui... J'ai appliqué le carré et non la racine carrée...

Posté par
heklare : Racines 18-10-16 à 20:20

on repart d'où on s'était arrêté

\cos(a+b)=\dfrac{\sqrt{6+3\sqrt{3}}}{4}-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=

Posté par
carpediemre : Racines 18-10-16 à 20:22

motdepasse @ 17-10-2016 à 14:05

Bonjour,

J'ai une question qui est sûrement bête mais je doute donc je préfère demander. Peut-on simplifier (6)/4 par (3)/2 ?

Merci


bien sur qu'on peut ... c'est comme cela qu'on prouve que 1 = 2 ...

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 20:23

cos (a+b) = V2/2

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 20:25

Comme quoi, il vaut mieux demander quand on doute carpediem... J'étais persuadée qu'on pouvait mais apparemment non...

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 20:26

Je continuerai demain hekla, je vais dormir. Bonne nuit

Posté par
heklare : Racines 18-10-16 à 20:40

oui on trouve \dfrac{\sqrt{2}}{2}

comme \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}

on sait que \cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

bonne nuit

Posté par
fenamat84re : Racines 18-10-16 à 20:50

En poursuivant les calculs d'Hekla à 20h08, tu peux donc conclure que :

\sqrt{6+3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}

et ainsi : \frac{\sqrt{6+3\sqrt{3}}}{4}=\frac{1}{4}*\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}.

Ensuite, il n'y a plus qu'à suivre la fin du calcul que j'ai exposé à mon post de 10h40 pour conclure...

A lire à tête reposée après une bonne nuit de sommeil...

(Je suppose qu'il te faudra aussi calculer sin(a+b) par la suite... si j'ai un bon feeling....
en tout cas le principe reste assez similaire)

Posté par
motdepassere : Racines 18-10-16 à 20:52

Je suis revenue, allez sur mon topic "salon de thé motdepasse (2)"svp,j'ai besoin d'aide...

Posté par
motdepassere : Racines 19-10-16 à 11:45

Je suis désolée, je dois mettre cet exercice en suspens. J'y reviendrai sans doute ce soir.

Posté par
fenamat84re : Racines 19-10-16 à 11:49

La question concernant le calcul de cos(a+b) est quasiment terminé !

A moins que tu aies d'autres questions par la suite... dans ce cas ok, on peut voir cela en soirée.

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