salut

pour l'instant je ne vois rien ...

mais sinon en notant a, b et c ces trois racines réels alors il existe des réels p et q tels que :



en développant et en identifiant les coefficients peut-être arrivons nous à quelque chose ....

Merci de votre aide
J'ai essayé de cette façon, mais je m'en sors pas

Bonjour,

Dans le même ordre d'idées, Sous les hypothèses de l'énonce, doit se factoriser sous la forme



Plus facile à identifier ? Je n'ai pas essayé.

Je rectifie
les 2 racines en question étant celles du trinôme et S leur somme.

Mais est-ce praticable ?

Bonjour,
à mon avis oui
après écriture du système de 4 équations en les 3 inconnues S,a,b
on aboutit assez rapidement à une équation du second degré en S dont une seule des deux solutions convient
(l'autre est certes solution de l'équation du second degré, mais pas du système)

c'est donc certainement la méthode la plus praticable ici.

Bonjour
J'ai développé et j'ai trouvé
P(x)=x⁵+(a-S)x⁴+(b+1-Sa)x³+(a-Sb+56)x²+(b-56S)x+56
Par identification j'ai trouvé a=28-4i√3 ou a=28+4i√3, ce qui donne 2 valeurs pour b. Et comme par identification a=S , alors S=28-4i√3 ou S=28+4i√3 , ce qui est contradictoire car S est la somme de deux nombres réels
Merci !

OK pour le développement

par contre pas d'accord pour la suite

et d'ailleurs on ne cherche pas a, on cherche S
c'est donc a et b qu'il faut éliminer pour ne garder que une équation en S seulement

Graphiquement, je n'ai pas vu deux solutions réelles dont le produit serait  1 .

certes mezalor on part du résultat pour prouver le résultat (somme  = 1)

évidemment le fait de trouver une solution prouvera que le résultat est correct ...

mais est-ce possible sans accepter à priori que le produit est 1 ?

Bonsoir,

Tous les coefficients de P(x) sont entiers,nous pouvons essayer des valeurs entières pour
S: +-/- 1 , +/- 2 , +/- 4  . . .


Alain

Bonjour
Graphiquement j'ai trouvé qu'il s'agit des nombres 0,26795 et 3,73205

bof,

Geogebra me donne pour les trois solutions réelles deux d'entre elles ≈ 0.27 et ≈ 3.73 dont le produit est bien ≈ 1 comme dit dans l'énoncé

il s'agit de trouver la valeur exacte de leur somme. (qui est bien réelle)
et on ne part pas "du résultat"
on part du système de 19:33
a-S = 0
b+1-Sa = 0
a-Sb+56 = 0
b-56S = -209
(4 équations à 3 inconnues)
dont il s'agit de trouver S réel (et a et b aussi donc, mais dont on se fiche de la valeur)
et prouver que ces 4 équations à 3 inconnues (une équation de trop) sont compatibles

l'élimination de a et b pour obtenir une équation en S commence bien entendu par a = S et substituer a par S partout etc (pas le contraire pour trouver a dont on se fiche royalement)
le tout sans erreurs de calcul
et on trouve S, compatible avec les valeurs "mesurées" avec Geogebra (ce qui n'est qu'une vérification)

ah oui, je vois ce que tu veux dire avec "on part du résultat" vu que l'énoncé ne l'affirme pas mais demande de le prouver ...

peut être alors remplacer le x² - Sx + 1 par x²-Sx+P et avoir 4 équations, à 4 inconnues (P en plus) et la même méthode ensuite

euh...moi j'ai 3 solutions réelles, dont 2 d'entre elles ont pour produit 1
_{je réagis seulement maintenant..désolée.....je m'occupais de la vitesse du site...}

oui, n'importe quoi, l'énoncé dit bien produit 1....

PS : évidemment "je m'ai trompé" à 19h51 ce n'est pas somme  = 1 mais bien sur produit = 1

message de 20:13 :
équations corrigées en x² -Sx+P, produit inconnu à déterminer

ceci dit c'est comme pour tous les exos où on dit "prouver que un résultat donné"
on peut partir du résultat donné et prouver que "ça marche"

"prouver que x² - 3x +2 = (x-1)(x-2) "
on peut soit factoriser le premier membre pour arriver au second
soit développer le second membre pour arriver au premier
il n'y a aucune inquiétude "philosophique" à faire comme ça.

c'est aussi ce que je disais ...

bon, alors aucun problème sauf les erreurs de calcul de 18samake à 19:33 ...

Bonsoir
Voici l'énoncé total. Peut être ça vous aidera:
1.Démontrer que l'équation x⁵-209x+56=0 admet trois solutions réelles , dont on donnera les signes
2.a)Démontrer que deux de ces solutions ont pour produit 1 et calculer leur somme
b)En déduire ces deux solutions
3. En procédant par dichotomie, déterminer une valeur approchée à 10^-2 près de troisième solution
Merci !

et c'est pourquoi je posais la question (ce que je disais) :

On peut remarquer que les valeurs numériques indiquées par 18samake ont  4  pour somme.
Si, dans le trinôme, on remplace  S  par  4 , on obtient les solutions  2 3 . Ne seraient-elles pas les valeurs exactes des deux solutions cherchées ?

"conjecturer" la valeur de cette somme à l'aide d'un logiciel est-il résoudre le problème ?

salut, je passe sans intervenir.

Bonsoir,
Je confirme pour 23 solutions

Voici comment je vois les choses :
Le produit 1 est une indication qui permet d'avoir l'idée de chercher une factorisation de x⁵-209x+56 par x²-Sx+1 .
Une fois trouvés cette factorisation et S , il n'y a plus de problème, comme expliqué par mathafou à 20h26 ; ce qu'il reconfirme à 20h31.
Pour être certain d'avoir démontré que deux des solutions ont pour produit 1, Il suffit de vérifier la factorisation trouvée.

bien sur !!

de toute façon avec un tel polynome (degré 5) je ne vois pas comment faire autrement que d'utiliser le résultat pour trouver les racines pour prouver qu'elles vérifient le résultat !!!

Bonjour,
Deux   des racines  réelles de l'équation    sont  aussi les  racines d'un polynôme  Q(x)=x²+Sx+1 ,comme le produit vaut 1  ces racines  sont  x et 1/x, alors ce polynôme  Q(x) divise P₁(x)=  x⁵-209x+56   , P₂(x)=(1/x)⁵-209(1/x)+56    et  P₃(x)=x⁵((1/x)⁵-209(1/x)+56) =1+209x⁴+56x⁵
reste à déterminer  le PGCD(P(x);P₃(x))  avec l'algorithme d'Euclide  

Bonjour PLSVU,
Aux erreurs de signe près, ça semble une piste intéressante

P₂(x) n'étant pas un polynôme, cette belle théorie demande à être légèrement corrigée ...

disons plutôt que c'est mal écrit

on sait (résultat) qu'il existe un réel u (non nul) tel que u et 1/u sont racines de P ... et donc P(u) = P(1/u) = 0

de la même façon (et sans le résultat mais avec les hypothèses) on sait qu'il existe un complexe z solution et donc z* est aussi solution

et donc P s'écrit

une telle expression est-elle exploitable ? ....

Ce n'est pas ce que propose PLSVU.
Je préfère noter et 1/ les solutions réelles dont le produit est 1 .
P(1/) = 0 donne 56⁵-209⁴+1 = 0 .
Les deux polynômes x⁵-209x+56 et 56x⁵-209x⁴+1 sont divisibles par x²-Sx+1 .

là on est d'accord, la rédaction est désormais correcte.

ou u je ne vois aucune différence ... mis à part qu'il faut s'em... à aller le chercher ce ... alors que u est instantané sur le clavier ...

et donc divise leur différence ...

on doit pas être loin d'être proche de ...

c'est pas le u ou α qui chiffonnait

c'est déclarer que P₂(x)=(1/x)⁵-209(1/x)+56 est un polynôme (en x vu qu'il est écrit P₂(x))
légèrement corrigée disais-je

j'avais bien sur compris ce que tu voulais dire ...