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Racines d'une quadratique à coeff d'ordres 0 et 1 non nuls
Bonjour.
Je souhaite résoudre un problème que je me suis donné d'optimisation.
Il s'agit à la base d'une activité de cours dont je n'ai pas regardé la solution et qui consiste à exprimer sous forme d'une fonction, l'évolution d'un volume d'un "parallélépipède rectangle "sans couvercle, en fonction des côtés des quatre carrés isométriques découpé dans le patron de la "boîte à chaussures", avec l la largeur "hors-tout" du patron, et L sa longueur toujours "hors-tout". J'ai choisi "x" bien sûr pour la valeur du côté du carré de découpe.
J'ai donc ainsi exprimé le volume V de cette manière :
V = x (l - 2x) (L - 2x)
ou
4x3 - 2(l+L)x2+ (lL)x
Le problème que je me pose est donc de trouver le maximum de cette fonction pour l et L strictement positifs, comme dans la réalité, ce qui veut dire que l'extremum existe bien.
Pour cela je cherche les "zéros" ou "racines" de la dérivée de cette fonction, de façon à repérer pour quelles valeurs je peux avoir une annulation avec un changement de signe.
Je pose donc dérivée de f(x), D = (y2 - y1) / (x2 - x1).
Ayant (x2 - x1) au dénominateur je m'efforce de mettre de terme en facteur au numérateur, et je fais :
D = (4x23 - 2(l+L)x22+ (lL)x2 - (4x13 - 2(l+L)x12+ (lL)x1) / (x2 - x1)
D = (4x23 - 2(l+L)x22+ (lL)x2 - 4x13 + 2(l+L)x12- (lL)x1) / (x2 - x1)
D = (4x23 - 4x13 + 2(l+L)x12 - 2(l+L)x22+ (lL)x2 - (lL)x1) / (x2 - x1)
D = (4(x23 - x13) + 2(l+L)(x12 - x22) + (lL)(x2 - x1)) / (x2 - x1)
D = (4(x23 - x13) - 2(l+L)(x22 - x12) + (lL)(x2 - x1)) / (x2 - x1)
D = (4(x2 - x1)(x22 + x2x1 + x12) - 2(l+L)(x22 - x12) + (lL)(x2 - x1)) / (x2 - x1)
D = (4(x2 - x1)(x22 + x2x1 + x12)
- 2(l+L)(x22 - x12)
+ (lL)(x2 - x1))
/ (x2 - x1)
D = (4(x2 - x1)(x22 + x2x1 + x12)
- 2(l+L)(x2 - x1)(x2 + x1)
+ (lL)(x2 - x1))
/ (x2 - x1)
D = 4(x22 + x2x1 + x12)
- 2(l+L)(x2 + x1)
+ (lL)
Je dis que si je cherche les zéros de D, c'est la même chose que de chercher les zéros de D/4 :
D/4 = (x22 + x2x1 + x12)
- 2/4(l+L)(x2 + x1)
+ 1/4(lL)
Je dis que lorsque x1 tend vers x2, la limite de D/4 est équivalente à, avec x0 le centre de l'intervalle [x1;x2] :
D/4 = (x02 + x02 + x02)
- 2/4(l+L)(x0 + x0)
+ 1/4(lL)
Soit :
D' = 3x02
- 2/4(l+L)2x0
+ 1/4(lL)
D' = 3x02
- (l+L)x0
+ 1/4(lL)
D' = 3x02 - (l+L)x0 + 1/4(lL)
Avec l = 4 et L = 6, valeurs de l'énoncé de l'activité :
D' = 3x02 - (4+6)x0 + 1/4(4*6)
D' = 3x02 - 10x0 + 6
Delta = b2 - 4ac, avec a = 3, b = -10 et c = 6 :
Delta = -102 - 4*3*6 = 100 - 72 = 28, et 28 > 0.
X1 = (-b - 
Delta)/2a
X1 = (-(-10) - 28)/ (2*3)
X1 = (10 - 28)/ 6
X2 = (-b + Delta)/2a
X2 = (-(-10) + 28)/ (2*3)
X2 = (10 + 28)/ 6
Je compare f(X1) et f(x2) :
f(X1) - f(x2) =
4X13 - 2(l+L)(X1)2+ (lL)X1
- (4X23 - 2(l+L)(X2)2+ (lL)X2)
4X13 - 2(l+L)(X1)2+ (lL)X1
- 4X23 + 2(l+L)(X2)2- (lL)X2
4X13 - 4X23
- 2(l+L)(X1)2 + 2(l+L)(X2)2
+ (lL)X1 - (lL)X2
4(X13 - X23)
- 2(l+L)(X12 - X22)
+ (lL)(X1 - X2)
Avec l = 4 et L = 6, valeurs de l'énoncé de l'activité :
4(X13 - X23)
- 2(4+6)(X12 - X22)
+ (4*6)(X1 - X2)
4(X13 - X23)
- 20(X12 - X22)
+ 24(X1 - X2)
Et là, en dehors de remplacer X1 et X2 par leur valeur, je ne vois pas comment simplifier plus l'expression pour en déduire le signe ; quelqu'un aurait une idée ?
Le titre est : "Étude d'optimisation de volume" / Maximum d'une fonction de degré 3
Au fait, en remplaçant par les valeurs de X1 et X2, j'obtiens bien sûr j'obtiens f(X1)- f(X2) > 0, ce qui veut dire que c'est la première racine de la dérivée qui est la bonne et correspond à l'abscisse du maximum compatible avec la réalité.
Par contre, j'aimerais avoir votre avis sur ma méthode, s'il y avait pas lus simple, plus directe (je parle pas de juste moins détailler les calculs), et surtout donc, si quelqu'un pouvait me dire s'il arrive à résoudre algébriquement le signe de f(X1) - f(X2) ce serait super 
Cordialement.
Bonjour,
[V = f(x) = 4x3 - 2(l+L)x2+ (lL)x]
Je pose donc dérivée de f(x), D = (y2 - y1) / (x2 - x1).
dérivée oui, mais la dérivée de f(x) c'est f '(x) = 12x2 - 4(l+L)x + lL
et c'est tout
ensuite on étudie le signe de cette fonction :
(signe du trinome) "a" = 12 étant positif, f '(x) est <0 entre les racines et >0 à l'extérieur.
le tableau de signe de f '(x) donne les variations de f(x) et le maximum/minimum de f(x)
je ne sais pas du tout où tu as été chercher tes calculs avec des x1 et x2 et je ne sais quoi ...
a moins que tu n'aies pas vu les dérivées du tout et que tu repartes "des définitions"
mais ça ne se fait pas comme tu le fais (monstrueux).
le calcul de la dérivée c'est [f(x+h) - f(x)]/h et on fait tendre h vers 0.
Merci pour ton éclairage, mathafou. Ben oui, les dérivées et les primitives ne font pas partie du programme de seconde 
mais quelque part je trouve cela intéressant de pouvoir trouver une démarche, quitte à l'inventer, que de ne pouvoir seulement appliquer "bêtement" des formules et des algorithmes dont on a pas vraiment compris d'où ils sortent. ma méthode n'est peut-être pas élégante, mais elle m'a quand-même permis d'arriver à quelque chose (et en plus juste! rires) et si tu regardes bien, il me semble que lorsqu'on est "à la limite", ton calcul de dérivée "[f(x+h) - f(x)]/h et on fait tendre h vers 0" est exactement équivalent au mien
Cordialement.
comme tu avais marqué niveau "autre" on ne pouvait pas deviner que c'était "seconde"
certes le calcul avec deux variables x1 et x2 est "équivallent" à celui avec une seule h ... mais celui avec une seule est tout de même beaucoup plus simple !!
enfin tu trouves tout de même la dérivée (en fait le "nombre dérivé" en x0, mais c'est quasiment la même chose).
par contre la suite (j'avais zappé devant la longueur des calculs)
On résoud D' = 0 qui donne X1 et X2, OK
ensuite tes calculs avec le signe de f(X1) - f(X2) je ne vois vraiment pas où ils menent
une fois qu'on a X1 et X2, on cherche le signe de la dérivée
cela donne le tableau de variations de f :
dans les intervalles ou la dérivée est >0 la fonction est croissante
dans les intervalles où la dérivée est <0 la fonction est décroissante
cela donne directement les maximum et minimum de f !!
montrer que le maximum est plus grand que le minimum "directement" conduit à tes calculs affreux, qui aboutissent tout de même "presque" à ce que tu cherches :
signe de : 4(X13 - X23) - 2(l+L)(X12 - X22) + (lL)(X1 - X2)
il faut déja mettre (X1 - X2) en facteur.
le signe de X1 - X2 étant connu il ne reste plus que celui du reste :
4(X12 + X1X2 + X22) - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
que l'on peut écrire :
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
pour s'en sortir maintenant il faut "redémontrer" un résultat connu sur la somme et le produit des racines :
si les racines de D' = 12x2 - 4(l+L)x + (lL) sont X1 et X2
D' peut s'écrire (forme factorisée) D' = 12(x - X1)(x - X2)
en redéveloppant on obtient :
D' = 12x2 - 12(X1+X2)x + 12X1X2
ce qui donne que
12(X1+X2) = 4(l+L) soit X1+X2 = (l+L)/3
et 12X1X2 = lL et X1X2 = lL/12
on porte alors ces valeurs dans notre expression pour le signe :
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL) =
4(l+L)2/9 - 4lL/12 - 2(l+L)(l+L)/3 + (lL) = ...
sauf erreur de calcul (calculs faits directement dans le message)
comme tu avais marqué niveau "autre" on ne pouvait pas deviner que c'était "seconde"
Ben mon niveau technique est bien celui de la seconde, comme précisé dans mon profil, mais je me suis référé au niveau du problème que je me posais pour cette indication ; la prochaine fois c'est au premier que je me référerai pour moins risquer de choquer
certes le calcul avec deux variables x1 et x2 est "équivallent" à celui avec une seule h ... mais celui avec une seule est tout de même beaucoup plus simple !!
Voilà, c'était tout l'intérêt de demander un point de vue extérieur plus familiarisé avec le sujet pour savoir s'il n'y avait pas plus simple et plus "élégant"
enfin tu trouves tout de même la dérivée (en fait le "nombre dérivé" en x0, mais c'est quasiment la même chose).
Oui, et je n'étais absolument pas sûr de ce que je faisais, sauf que ça me paraissais logique par rapport à ce que je comprenais de loin d'une dérivée.
Quelle est donc la différence entre "la dérivée en x0" et "la dérivée", tout court ? je vois pas trop bien, puisque ça me paraît strictement équivalent, mathématiquement parlant.
par contre la suite (j'avais zappé devant la longueur des calculs)
Je comprends ! rires, il m'a fallu 14 heures avec les pauses, pour arriver à être suffisamment sûr de ce que j'avais fait :/
On résoud D' = 0 qui donne X1 et X2, OK
ensuite tes calculs avec le signe de f(X1) - f(X2) je ne vois vraiment pas où ils menent
Ben pour moi c'est juste pour avoir laquelle des deux images par f est supérieure à l'autre, au cas où il y aurait une différence.
une fois qu'on a X1 et X2, on cherche le signe de la dérivée
cela donne le tableau de variations de f :
dans les intervalles ou la dérivée est >0 la fonction est croissante
dans les intervalles où la dérivée est <0 la fonction est décroissante
cela donne directement les maximum et minimum de f !!
Oui, c'est qu'on nous fait faire en seconde effectivement, mais je sais pas, je n'aime pas ! rires
montrer que le maximum est plus grand que le minimum "directement" conduit à tes calculs affreux, qui aboutissent tout de même "presque" à ce que tu cherches :
Oui, j'ai parcouru quelques docs justement sur le net sur la résolutions des racines de polynômes à plusieurs variables, et ouah! quel travail ! rires.
signe de : 4(X13 - X23) - 2(l+L)(X12 - X22) + (lL)(X1 - X2)
il faut déja mettre (X1 - X2) en facteur.
le signe de X1 - X2 étant connu il ne reste plus que celui du reste :
4(X12 + X1X2 + X22) - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
C'est donc ainsi que l'on obtient ta "primitive" ?
que l'on peut écrire :
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
Bien vu !
pour s'en sortir maintenant il faut "redémontrer" un résultat connu sur la somme et le produit des racines :
si les racines de D' = 12x2 - 4(l+L)x + (lL) sont X1 et X2
Comment trouves-tu ce "12" ?
Si je fais :
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
4(X12 + 2x1x2 + X22) - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
4X12 + 8x1x2 + 4X22 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
4X12 + 4x1x2 + 4X22- 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
4(X12 + x1x2 + X22) - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
Je retombe sur l'expression de départ et je ne trouve pas de 12 :/ tu peux m'indiquer stp comment tu obtiens ce coefficient ?
PS : pourrais-tu indiquer pour les fois suivantes tes calculs intermédiaires, avec des copiés-collés ça prend pas tant de temps que ça et c'est plus facile pour moi de suivre les étapes
Il n'y avait pas de calcul intermédiaires.
(calculs faits directement dans le message)
je suis parti de ton
D' = 3x02
- 2/4(l+L)2x0
+ 1/4(lL)
ce que tu cherches c'est bien résoudre D' = 0 ? c'est bien X1 et X2 solution de ce D' = 0 là non ?
c'est à dire les solutions de :
4(3x2 - 2/4(l+L)2x + 1/4(lL)) = 0
qui est bien
12x2 - 4(l+L)x + lL = 0
voila d'où sort mon 12 : d'une multiplication par 4 de tête au fur et à mesure de la recopie de ton équation.
la méthode :
je cherche à évaluer le signe de blabla de X1 et X2, écrit en faisant apparaitre X1+X2 et X1X2
Pour cela je trouve des expressions de X1+X2 et X1X2 à partir de l'équation dont X1 et X2 sont solutions :
l'équation D' = 0, pas l'expression blabla(X1,X2)
je remplace alors ces valeurs de X1+X2 et X1X2 dans blabla(X1,X2)
c'est plus eficace (mais équivallent) à remplacer directement X1 et X2 par leurs expressions avec les
et développements abominables
C'est tout.
(nota copier coller direct ne marche pas avec des indices et exposants, il faut copier coller à partir du source, icone
et ton profil au besoin pour valider cete fonction.
Quelle est donc la différence entre "la dérivée en x0" et "la dérivée", tout court
la dérivée en x0 = "le nombre dérivé", c'est la valeur unique de f '(x) en le point unique x0.
La différence est mince à ce niveau, c'est la différence entre une fonction et la valeur de cette fonction en un point.
Il est parfois bien utile de voir que ce sont des choses absolument différentes.
Oui, c'est qu'on nous fait faire en seconde effectivement, mais je sais pas, je n'aime pas
Il n'y avait pas de calcul intermédiaires.
Citation :
(calculs faits directement dans le message)
On voit celui qui a l'habitude !
je suis parti de ton
Citation :
D' = 3x02
- 2/4(l+L)2x0
+ 1/4(lL)
Ok, désolé, j'ai pas fait gaffe.
et comme j'ai horreur des dénominateurs j'ai tout multiplié par 4
Je comprends !
ce que tu cherches c'est bien résoudre D' = 0 ? c'est bien X1 et X2 solution de ce D' = 0 là non ?
Oui, tout à fait, puisque je cherchais les éventuels points d'inflexion horizontale de la courbe, et en l'occurrence, l'un des éventuels extrema : le maximum.
c'est à dire les solutions de :
4(3x2 - 2/4(l+L)2x + 1/4(lL)) = 0
Oui.
qui est bien
12x2 - 4(l+L)x + lL = 0
Absolument.
voila d'où sort mon 12 : d'une multiplication par 4 de tête au fur et à mesure de la recopie de ton équation.
Merci, Mathafou, de me l'avoir précisé.
la méthode :
je cherche à évaluer le signe de blabla de X1 et X2,
Quand tu dis "blabla", tu veux bien dire de la dérivée de f(x) ?
écrit en faisant apparaitre X1+X2 et X1X2
Pourquoi, stp ? Perso je vois un intérêt à comparer f(X1) et f(X2) mais des racines ; qu'est-ce que ça change qu'elles positives ou négatives ?
Tu n'as visiblement pas compris la démarche.
tu cherches le signe d'une expression en X1 et X2
cette expression là :
4(X13 - X23) - 2(l+L)(X12 - X22) + (lL)(X1 - X2)
c'est pas la dérivée du tout, ça !!!
qu'on peut simplifier en factorisant par (X1 - X2) en
- signe de (X1 - X2)
- et signe de
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
c'est cette expression là que j'ai qualifiée de "blabla de X1 et X2" par flemme de la recopier intégralement et surtout pour aérer le texte !!
pour calculer le signe de cette expression il faut remplacer, dans cette expression là, X1 et X2 par leur valeur :
ce sont les racines de l'équation f '(x) = 0
plutot que de remplacer séparément X1 et X2 par des expression abhorribles, je cherche séparément à évaluer
X1+X2 et X1X2
et ce à partir de l'équation dont X1 et X2 sont solution :
f '(x) = 0, c'est à dire 12x2 - 4(l+L)x + lL = 0
quand j'ai trouvé que X1+X2 c'est tout simplement (l+L)/6 et
et que X1X2 c'est tout simplement lL/12
je remplace ça dans l'expression dont je cherche à trouver le signe depuis le début, là où tu étais bloqué au départ.
l'expression que j'ai appelé "blabla de "
c'est à dire l'expression :
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
je remplace donc dans cette expression X1+X2 par (l+L)/6
et X1X2 par lL/12 :
4((l+L)/6)2 - 4(lL/12) - 2(l+L)(l+L)/6 + (lL)
etc ...
PS : il doit y avoir quelques erreurs de calculs/recopies dans tout ça puisque on n'obtient pas les même choses que les calculs précédents
Calculs à refaire proprement donc sur une feuille de papier, et pas parsemés de [ sub ] et [ sup ] qui rendent le source du message illisible, source d'erreurs donc.
(nota copier coller direct ne marche pas avec des indices et exposants, il faut copier coller à partir du source, icone ... et ton profil au besoin pour valider cete fonction.
Tu veux dire pour copier-coller un message ou partie de message, je pense. Je parlais plutôt pour lorsque nous tapons une formule avec les balises de formats, je remarquais juste qu'il est assez facile et rapide de se copier-coller nos lignes précédentes d'écriture pur juste ne changer que les transformations de calculs.
Citation :
Quelle est donc la différence entre "la dérivée en x0" et "la dérivée", tout court
la dérivée tout court c'est la fonction qui à tout x de l'intervalle associe le f '(x)
la dérivée en x0 = "le nombre dérivé", c'est la valeur unique de f '(x) en le point unique x0.
La différence est mince à ce niveau, c'est la différence entre une fonction et la valeur de cette fonction en un point.
Il est parfois bien utile de voir que ce sont des choses absolument différentes.
Oh mais si ! Pour moi je reconnais que c'est très différent ! et j'apprécie beaucoup de maintenant le savoir ! Le vocabulaire, je crois, c'est comme un outil : moins il est affûté, moins il est "tranchant", je veux dire efficace.
Citation :
Oui, c'est qu'on nous fait faire en seconde effectivement, mais je sais pas, je n'aime pas
c'est pourtant le plus facile et le plus rapide !!! (et le plus direct : on "lit" directement sur le tableau de variation l'allure de la courbe et on "lit" directement les maxima et minima)
Ben je sais mais c'est pour moi comme si tu me demandais à propos d'une figure géométrique de "voir" que deux triangles sont égaux, plutôt que de le démontrer ...
Tu n'as visiblement pas compris la démarche.
Ah ben ça c'est très possible ! rires.
tu cherches le signe d'une expression en X1 et X2
cette expression là :
4(X13 - X23) - 2(l+L)(X12 - X22) + (lL)(X1 - X2)
c'est pas la dérivée du tout, ça !!!
Pour sûr, mais avant que tu ne m'en écrives l'expression je ne voyais pas de quoi tu parlais quand tu disais "une blabla en X1 et X2".
Donc, si c'est cette expression : pourquoi avoir cette démarche ? je veux dire de remplacer x par les différences de X1 et X2 élevés aux ordres correspondant à ceux de x à l'origine ? Je veux dire : quel est "le pourquoi", plus que "le comment" ? Quel est le raisonnement qui conduit à avoir cette idée ? qui permet d'arriver à cette méthode ? stp. Parce que X1 et X2 sont des abscisses, donc à quoi peut bien correspondre "l'image de la valeur algébrique (X1;X2) par f, et surtout élevée à un puissance différente de 0 ou 1 ? etc.
Ben je sais mais c'est pour moi comme si tu me demandais à propos d'une figure géométrique de "voir" que deux triangles sont égaux, plutôt que de le démontrer ...
remonter à chaque fois aux postulats même d'Euclide devient vite inutilisable ...
là c'est pareil
si dans un intervalle [a; b] la fonction est croissante et si dans un intervalle [b; c] jointif elle est décroissante, c'est la définition même et précise de "le maximum de la fonction est en x = b" (pour peu que la fonction soit continue en b, hein)
c'est cela que donne le tableau de variation
et on le "lit" pour exprimer par des mots (maximum etc ) ce qu'on a bien démontré auparavant : à savoir qu'elle est bien croissante dans [a; b] et décroissante dans [b; c]. le tableau n'étant que la "synthèse" de ces démonstrations.
pour copier-coller un message ou partie de message
qu'on peut simplifier en factorisant par (X1 - X2) en
- signe de (X1 - X2)
- et signe de
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
c'est cette expression là que j'ai qualifiée de "blabla de X1 et X2" par flemme de la recopier intégralement et surtout pour aérer le texte !!
Ok.
pour calculer le signe de cette expression il faut remplacer, dans cette expression là, X1 et X2 par leur valeur :
ce sont les racines de l'équation f '(x) = 0
plutot que de remplacer séparément X1 et X2 par des expression abhorribles, je cherche séparément à évaluer
X1+X2 et X1X2
Parce que X1+X2 et X1X2 sont des termes contenus dans 4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL) ?
et ce à partir de l'équation dont X1 et X2 sont solution :
f '(x) = 0, c'est à dire 12x2 - 4(l+L)x + lL = 0
quand j'ai trouvé que X1+X2 c'est tout simplement (l+L)/6 et
et que X1X2 c'est tout simplement lL/12
Oui, parce que si je n'avais remplacé l et L par leur valeur, nous aurions eu comme racines de D' :
X1 = ((l+L) -
(lL))/ 6 et
X2 = ((l+L) +
(lL))/ 6, c'est bien ça ?
je remplace ça dans l'expression dont je cherche à trouver le signe depuis le début, là où tu étais bloqué au départ.
l'expression que j'ai appelé "blabla de "
c'est à dire l'expression :
4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL)
je remplace donc dans cette expression X1+X2 par (l+L)/6
et X1X2 par lL/12 :
4((l+L)/6)2 - 4(lL/12) - 2(l+L)(l+L)/6 + (lL)
etc ...
Oui, merci, Mathafou, je vois très bien maintenant l'intérêt de calculer les expressions en X1 et X2 séparément afin de s'économiser du travail d'écriture
Désolé si ça a été dur pour toi de m'expliquer !
Pourras-tu quand même répondre à mes autres questions, notamment celle du pourquoi tu choisis d'utiliser l'expression en X1 et X2 ? stp
Ben je sais mais c'est pour moi comme si tu me demandais à propos d'une figure géométrique de "voir" que deux triangles sont égaux, plutôt que de le démontrer ...
remonter à chaque fois aux postulats même d'Euclide devient vite inutilisable ...
là c'est pareil
si dans un intervalle [a; b] la fonction est croissante et si dans un intervalle [b; c] jointif elle est décroissante, c'est la définition même et précise de "le maximum de la fonction est en x = b" (pour peu que la fonction soit continue en b, hein)
c'est cela que donne le tableau de variation
et on le "lit" pour exprimer par des mots (maximum etc ) ce qu'on a bien démontré auparavant : à savoir qu'elle est bien croissante dans [a; b] et décroissante dans [b; c]. le tableau n'étant que la "synthèse" de ces démonstrations.
Je comprends.
Juste, qu'est-ce qui nous dit dans les démonstrations que la fonction n'est "que" croissante sur ces intervalles ? Est-ce parce que ces intervalles ont pour extrémités les racines de la dérivée de l'équation, et donc que comme ce sont les seuls endroits où la fonction peut "changer de signe", c'est que "nécessairement" la fonction ne peut être que de même signe dans ces intervalles ?
A propose de "fonction continue en b", est-ce que tu fais référence au fait qu'il peut y avoir une "singularité" en b, une asymptote, comme pour une fonction hyperbolique ?
pour copier-coller un message ou partie de message
Oui, j'ai vu ça. Merci pour l'info. Et merci pour ton aide jusque là déjà
1) il faudra vérifier tous ces calculs "au propre" car il y a visiblement quelques erreurs par ci par la (chez moi entre autre)
2)
plutot que de remplacer séparément X1 et X2 par des expression abhorribles, je cherche séparément à évaluer
X1+X2 et X1X2
Parce que X1+X2 et X1X2 sont des termes contenus dans 4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL) ?
tu confond le but et les moyens.
ce n'est pas parce que j'ai des X1+X2 et X1X2 que je cherche à remplacer ces valeurs, c'est le contraire !!
c'est parce que ces valeurs sont simples que je les ai fait apparaitre exprès !!
quand on a des expressions compliquées qui utilisent des racines d'une équation du second degré, on a tout intérêt (parce que ça simplifie vraiment) à triturer cette expression (celle dont on veut connaitre le signe, la tienne, celle où tu étais bloqué dans ton post initial) pour faire apparaître exclusivement la somme et le produit.
parce que alors on a directement cette somme et ce produit qui sont des expressions simples (et pas des trucs avec des racines carrées)
le but c'est bien d'exprimer ton expression de départ (toujours celle là, dont on cherche toujours le signe) exclusivement en fonction des données du problème (l et L, pas des trucs affreux comme "X1" et "X2")
pourquoi tu choisis d'utiliser l'expression en X1 et X2
(hum, s'il faut tout redémontrer on peut se poser la question... tu mets directement les valeurs de X1 et X2 avec leur
et tout et tu développes à mort, ça serait sans doute au final aussi simple que discuter interminablement sur cette méthode qui ne simplifie que parce qu'on la connait)1) il faudra vérifier tous ces calculs "au propre" car il y a visiblement quelques erreurs par ci par la (chez moi entre autre)
C'est bien possible mais en fait, c'est pas trop l'important pour moi dans ce cas que tes calculs soient justes ! (Les miens, si me semble-t-il, car je suis "l'élève" et j'ai besoin de démontrer une maîtrise des outils et bien sûr m'entraîner à produire des résultats justes en vue d'utilisations sans erreur en physique par exemple car sinon ce que l'on conçoit ne fonctionne pas ou peut s'avérer dangereux, de ce que j'ai pu voir. Par contre, Mathafou, pour les tiens, pour tes propres calculs, ça me paraît moins important de mon point de vue car ce qui m'intéresse avant tout, c'est la démarche, la méthode et le raisonnement : comment trouver les meilleures méthodes par moi-même pour d'autres cas même assez différents.)
2)
plutot que de remplacer séparément X1 et X2 par des expression abhorribles, je cherche séparément à évaluer
X1+X2 et X1X2
Parce que X1+X2 et X1X2 sont des termes contenus dans 4(X1 + X2)2 - 4X1X2 - 2(l+L)(X1 + X2) + (lL) ?
tu confond le but et les moyens.
ce n'est pas parce que j'ai des X1+X2 et X1X2 que je cherche à remplacer ces valeurs, c'est le contraire !!
c'est parce que ces valeurs sont simples que je les ai fait apparaitre exprès !!
quand on a des expressions compliquées qui utilisent des racines d'une équation du second degré, on a tout intérêt (parce que ça simplifie vraiment) à triturer cette expression (celle dont on veut connaitre le signe, la tienne, celle où tu étais bloqué dans ton post initial) pour faire apparaître exclusivement la somme et le produit.
parce que alors on a directement cette somme et ce produit qui sont des expressions simples (et pas des trucs avec des racines carrées)
le but c'est bien d'exprimer ton expression de départ (toujours celle là, dont on cherche toujours le signe) exclusivement en fonction des données du problème (l et L, pas des trucs affreux comme "X1" et "X2")
Ben en fait, il me semble que je t'avais bien compris depuis le dernier post ; je ne me suis pas assez clairement exprimé je crois : tout ce que je voulais vérifier c'est que quand tu parlais de ces sommes et produits de racines de la dérivée en X0, c'était bien de celles qui étaient présentes dans l'expression en X1 et X2 et que cela ne venait pas "d'ailleurs" pour quelque autre raison. Le "parce que" était dans ma phrase à l'évidence maladroit.
Merci en tout cas pour ces nouvelles précisions
Peux-tu quand-même me clarifier les quelques autres questions que j'avais en suspend ? (si tu n'en as pas marre de mes questions ?
)
pourquoi tu choisis d'utiliser l'expression en X1 et X2
(hum, s'il faut tout redémontrer on peut se poser la question... tu mets directement les valeurs de X1 et X2 avec leur
et tout et tu développes à mort, ça serait sans doute au final aussi simple que discuter interminablement sur cette méthode qui ne simplifie que parce qu'on la connait)Ô, je vois ! Ben écoute : je suis très heureux que tu m'ais répondu jusque-là mais si tu ne vois pas l'intérêt de ma démarche c'est peut-être un peu dommage pour toi aussi !
Je n'ai peut-être qu'un niveau de "maîtrise technique" des outils mathématiques uniquement de classe de seconde, mais ça ne m'a pas empêché, du point de vue de la logique, du raisonnement, et de la pertinence des questions et des réponses :
- de recevoir une lettre d'une page-et-demie de remerciements et d'encouragement de Madame Stella BARUK, pédagogue en mathématiques de renommée internationale, et pour la relecture-correction complète de son Dictionnaire de Mathématiques Élémentaires, aux éditions du Seuil ;
- de corriger l'Encyclopédie des Mathématiques de de Roger CARATINI, éditions Bordas, et notamment des erreurs dans la listes des axiomes de Peano pour l'arithmétique, et
- deux ouvrages d'introduction et d'histoire des mathématiques d'André VARUSFEL, rédacteur en chef de la Revue de mathématiques spéciales ;
toutes ces corrections ayant été vérifiées par un professeur de mathématiques de Lycée.
Maintenant, si tu penses que je perds mon temps en te posant ces questions, c'est bien ton droit ! mais j'ai le droit d'avoir moi-aussi une autre opinion
(Et si tu crois que je te dis c'est du flanc, ce que je peux comprendre : fais juste une recherche sur le site avec mon nom, sur les sujets ayant trait aux fondements des mathématiques ...
).Non, faut pas prendre la mouche et me citer ton CV !!
les questions sont toujours intéressantes et ta démarche pour résoudre le problème l'est, même si ce n'est pas la plus efficace.
ce que je voulais dire par là c'est que cette démarche se résume en quelques lignes + les calculs et que ce n'est pas nécessaire non plus d'en faire des tartines :
tu veux connaitre le signe de f(X1) - f(X2)
où X1 et X2 sont les solutions d'une équation du second degré D' = 0
pour cela tu remplaces X1 et X2 dans l'expression f(X1) - f(X2) par les racines explicites de D' = 0 (méthode longue, calculs avec des radicaux)
Ou bien tu exprimes f(X1) - f(X2) "en fonction" de la somme S = X1+X2 et du produit P = X1X2 : f(X1) - f(X2) = g(S, P)
parce que dans ce cas les expressions de S et de P sont plus simples que celles de X1 et X2 : pour toute équation du second degré ax² + bx + c = 0, la somme S = -b/a et le produit P = c/a)
tout se résume à ces quelques lignes.
Bonne continuation.
En résumé : quelle que soit la façon dont on la calcule
Les extrema de V(x) sont obtenus pour V'(x)=0 , soit :
La quantité sous radical étant positive quels que soient lL et l positifs, il y a toujours deux solutions, et donc deux extrema
Le signe du terme en de V(x) étant +, la fonction part de
, croît jusqu'à un maximum, décroît jusqu'à un minimum, puis recroît jusqu'à
Le maximum recherché correspond donc à la plus petite des deux solutions de V'(x)=0, c'est-à-dire à :
Impec.
tu es donc revenu finalement au tableau de variations (en mots) plutôt qu'à l'étude du signe de V(X1) - V(X2)
Non, faut pas prendre la mouche et me citer ton CV !!
les questions sont toujours intéressantes et ta démarche pour résoudre le problème l'est, même si ce n'est pas la plus efficace.
Mathafou, si j'avais pensé que la démarche de résolution que j'avais adoptée était la plus efficace, je ne serais pas venu sur le site demander s'il n'y avait pas plus court ou plus élégant.
ce que je voulais dire par là c'est que cette démarche se résume en quelques lignes + les calculs et que ce n'est pas nécessaire non plus d'en faire des tartines :
J'ai bien compris, mais tu raisonnes en ne prenant que ton point de vue, me semble-t-il : celui de quelqu'un qui maîtrise tout cela parfaitement, et donc qui peut aller directement aux résultats, faire plusieurs changements de calculs par ligne (de plus, pour le néophyte qui n'est pas aussi familiarisé que ça, suivre les calculs en ligne de quelqu'un qui effectue plusieurs changements par ligne, je trouve cela galère :/).
Moi en tout cas j'ai besoin de détailler encore tous mes calculs par exemple si je ne veux pas me planter dans mes calculs car pour ce qui me concerne, il faut aussi que mes calculs soient justes et ne faire aucune erreur sinon pour moi ça n'a pas de sens d'en faire.
Maintenant, avec ton aide justement, je me suis créé plus d'intérêt pour les tableaux de valeurs, etc., donc je pense que la prochaine fois que j'ai à étudier le signe d'une fonction, je devrais quand même avoir des chances d'être plus direct, et bien sûr d'utiliser les somme et produits de racines pour le second degré.
Pour info, pour vérifier mes calculs, il n'est arrivé sur le papier de remplacer plusieurs fois toute une partie d'expression par des lettres majuscules : A et B par exemple, parce que je voyais qu'elles se répétaient et que les changements de calculs d'une ligne à l'autre les laissaient invariantes, et de n'en remplacer l'expression détaillé qu'à la fin de mes transformations
Cordialement.
tu veux connaitre le signe de f(X1) - f(X2)
où X1 et X2 sont les solutions d'une équation du second degré D' = 0
pour cela tu remplaces X1 et X2 dans l'expression f(X1) - f(X2) par les racines explicites de D' = 0 (méthode longue, calculs avec des radicaux)
Ou bien tu exprimes f(X1) - f(X2) "en fonction" de la somme S = X1+X2 et du produit P = X1X2 : f(X1) - f(X2) = g(S, P)
parce que dans ce cas les expressions de S et de P sont plus simples que celles de X1 et X2 : pour toute équation du second degré ax² + bx + c = 0, la somme S = -b/a et le produit P = c/a)
tout se résume à ces quelques lignes.
Bonne continuation.
Je crois que j'ai très bien compris maintenant. Merci de m'avoir aidé en répondant à mes nombreuses questions, et en me communiquant ton point de vue et ton expérience
En résumé :
wow! Si simple et si direct ! J'espère qu'avec un peu plus de pratique je pourrai faire aussi bien bientôt ! Merci Pierre_D
Impec.
tu es donc revenu finalement au tableau de variations (en mots) plutôt qu'à l'étude du signe de V(X1) - V(X2)
Euh, même si oui je crois que je vais beaucoup plus m'intéresser aux tableaux de variations, la réponse à laquelle il me semble que tu te réfères n'est pas de moi mais de Pierre_D
Oui, c'était juste pour montrer à Khwartz que quelques connaissances générales (notamment ici sur les polynomes) peuvent faire gagner beaucoup de temps et beaucoup de lignes ...
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