Si j'ai bien compris.

En appelant OA = OB = R
et AC = BD = d

Périmètre de OAB = 2R + aR.
Périmètre de OCD = 2d + aR + a(R+d)

2R + aR = 2d  + aR + a(R+d)
2R = 2d + aR + ad
2(R/d) = 2 + a(R/d) + a    (1)

Aire de OAB = (a/2).R²
Aire de OCD = (a/2).(R+d)² - (a/2).R²
Aire de OCD = (a/2).(R²+d²+2Rd) - (a/2).R²
Aire de OCD = (a/2).(d²+2Rd)

(a/2).R² = (a/2).(d²+2Rd)
R² = d² + 2Rd
(R/d)² = 1 + 2(R/d)     (2)

(1) et (2):
2(R/d) = 2 + a(R/d) + a  
(R/d)² = 1 + 2(R/d)

En posant R/d = x pour faciliter l'écriture ->

2x = 2 + a + ax
x² = 1 + 2x

x² - 2x - 1 = 0
x = 1+/- V(2)

Mais x doit être > 0 -> x = 1 + V2

2(1+V2) = 2 + a + a(1+V2)
2V2 = a(2+V2)
a = 2V2/(2+V2) en radian
-----
Sauf distraction. Vérifie sérieusement.