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Raisonnement par récurrence

Posté par
Invisible 19-08-14 à 01:57

Bonjour,

je solicite votre aide par rapport à un exercice que je pensais avoir résolu mais pour lequel ma réponse est fausse d'après la correction. L'énoncé est le suivant:

Soit c dans \mathbb{R}+*. Pour x dans \mathbb{R}, soit :

f(x) = x/\sqrt{1+cx²}.

Calculer f(fx)), f(f(f(x))) et généraliser.

Pour la généralisation finale, j'obtiens f[n](x)= x/\sqrt{1+2^{n-1}cx²}, alors que la correction me donne, sans préciser le développement, f[n](x)= x/\sqrt{1+ncx²}.

J'ai cherché mais je ne trouve pas où est mon erreur, donc je voulais vous demander tout d'abord si la correction était juste, dans quel cas je me remettrai à chercher.

Voilà merci beaucoup!

Posté par
Cherchellre : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 05:45

As tu pensé à simplifier par 2 ?
La dérivée de \sqrt{u} est \frac{u'}{2\sqrt{u}} donc la dérivée de \sqrt{1+cx^2} est \frac{2 cx}{2\sqrt{1+cx^2}} soit \frac{cx}{\sqrt{1+cx^2}}

Posté par
Nofutur2re : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 07:35

La correction est bien juste ..
Quand tu réduis au même dénominateur .. le dénominateur, on obtient sous la racine un truc du style :
1+ncx2+cx2 qui donne bien 1+(n+1)cx2

Posté par
alainpaulre : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 14:13

Bonjour,


Ici nous pouvions nous intéresser à l'inverse de f(x):
\frac{1}{f(x)}=\sqrt{\frac{1+cx^2}{x^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+c}

et aux itérées:
\frac{1}{f^{[2]}(x)}=\sqrt{\frac{1}{(f(x))^2}+c}=\sqrt{\frac{1+cx^2}{x^2}+c}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+2c}

Un raisonnement par récurrence nous donnera:
\frac{1}{f^{[n]}(x)}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+nc}

...



Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 15:14


Supposons f(f(f(...))) = x/V(1 + kcx²)

Au rang suivant, on a :

f(f(f(f(...))) = [x/V(1 + kcx²)]/V(1 + kc(x/V(1 + kcx²))²)

f(f(f(f(...))) = [x/V(1 + kcx²)]/V(1 + kcx²/(1 + kcx²))
f(f(f(f(...))) = x/V(1 + kcx² + kcx²)
f(f(f(f(...))) = x/V(1 + 2kcx²)

Donc pour passer d'un rang au suivant, il suffit donc de multiplier le coeff de x² qui se trouve sous le radical du dénominateur par 2

au rang 1, k = 1
au rang 2, k = 1 * 2 = 2
au rang 3, k = 2*2 = 4

au rang n, k = 2^(n-1)

En accord avec la réponse de invisible.
-----

Sauf distraction.  

Posté par
alainpaulre : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 17:23

Bonsoir,


L'outil souvent utilisé pour ce type de calcul est la fonction conjuguée.

Ici g(x)=x+c s'itère facilement , g^{[n]}(x)=x+nc
h(x)=\frac{1}{x^2} , h^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}

Il nous reste à écrire la fonction f de la manière suivante:
f(x)=h^{-1}(g(h(x))

f  o  f  o  f ... o  f =(h^{-1} o  g  o  h ) (h^{-1} o  g  o  h )...(h^{-1} o  g  o  h )
...
Après télescopage:
f^{[n]}(x)=h^{-1}(g^{[n]}(h(x))


Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 19:32

f(x) = x/V(1 + cx²)

f(f(x)) = [x/V(1 + cx²)]/V(1 + c.x²/(1+cx²))

f(f(x)) = x/V(1 + 2c.x²)

f(f(f(x)) = [x/V(1 + 2c.x²)]/V(1 + 2c.x²/(1+2cx²))

f(f(f(x)) = x/V(1 + 2c.x² + 2c.x²)

f(f(f(x)) = x/V(1 + 4c.x²)

Qui correspond à f[n](x) = x/V(1 + 2^(n-1).cx²) avec n = 3 et pas à f[n](x) = x/V(1 + ncx²)

Non ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 19:35

Lire f(f(f(x))) et pas f(f(f(x)) dans mon message précédent.

Posté par
Invisiblere : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 20:00

Merci pour vos réponses, c'est sympa.

En fait JP tu as fait la même erreur que moi. Tu dis f(f(f(x))) = [x/V(1 + 2c.x²)]/V(1 + 2c.x²/(1+2cx²)), mais en fait cela correspond à f(f(f(f(x)))). f(f(f(x))) = [x/V(1 + c.x²)]/V(1 + 2c.(1+cx²)²).

Il ne faut pas intégrer dan ta fonction le résultat obtenu juste avant mais à l'inverse intégrer au résultat obtenu juste avant la fonction initiale.

Posté par
alainpaulre : Raisonnement par récurrence 19-08-14 à 20:23

Bonsoir,

La dernière solution que je proposais (mail 17:23) conduit bien à la solution du corrigé

f[n](x) = x/(1 + ncx²)


Sauf erreur,

Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Raisonnement par récurrence 20-08-14 à 08:38

Citation :
En fait JP tu as fait la même erreur que moi.


Oui, cela avait fait tilt quelques minutes après avoir envoyé mon message précédent ... et coupémon ordi.

Je voulais corriger dès ce matin ... mais tu m'as précédé.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Raisonnement par récurrence 20-08-14 à 08:46

Voila avec la bourde corrigée :

Supposons f(f(f(...))) = x/V(1 + kcx²)

Au rang suivant, on a :

f(f(f(f(...))) = [x/V(1 + kcx²)]/V(1 + c(x/V(1 + kcx²))²)

f(f(f(f(...))) = [x/V(1 + kcx²)]/V(1 + cx²/(1 + kcx²))
f(f(f(f(...))) = x/V(1 + kcx² + cx²)
f(f(f(f(...))) = x/V(1 + (k+1).cx²)

Donc pour passer d'un rang au suivant, il suffit d'additionner 1 au coefficient multiplicateur de cx² qui se trouve sous le radical du dénominateur.

Comme k = 1 au rang 1
on aura k = n au rang n

et donc f[n](x) = x/V(1+ncx²)
-----
Sauf nouvelle distraction.  

Posté par
alainpaulre : Raisonnement par récurrence 22-08-14 à 09:28

Bonjour,

L'idée est de se ramener si possible à une droite d(x)=a(x-c)+c ,facilement
itérable d^{[n]}x)=a^n(x-c)+c

Essayons   d(x)=x+c , par quels 'changements' arriver à f(x) = x/\sqrt{1+cx²}.
h(x)= \frac{1}{x^2},d(\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2}+c=\frac{1+cx^2}{x^2}

...




Alain


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