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Raisonnement par recurrence
Bonsoir tout le monde.
Il y a une question que je dois démontrer par récurrence mais je ne sais plus quoi faire.je dois montrer que (1+1/n)^n<n, n étant un entier supérieur ou égal à 3. L'étape d'initialisation est facile, or je ne sais pas comment utiliser l'hymothèse de récurrence pour montrer que (1+1/n+1)^n+1<n+1.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
L'idée va être d'utiliser l'inégalité 1/(n+1) < 1/n, et on va l'utiliser deux fois :
D'abord, on peut écrire :
(1+ 1/(n+1))n+1 = (1+ 1/(n+1))*(1+ 1/(n+1))n
Ensuite, de 1/(n+1) < 1/n on peut déduire (1 + 1/(n+1))n < (1+ 1/n)n
Là on peut utiliser l'hypothèse de récurrence :
(1 + 1/n)n < n
En regroupant, on arrive à :
(1+ 1/(n+1))n+1 < (1 + 1/(n+1))*n
Là on utilise une deuxième fois 1/(n+1) < 1/n et on arrive à :
(1+ 1/(n+1))n+1 < (1 + 1/n)*n
Je te laisse terminer le calcul pour le plaisir : réduction au même dénominateur dans la parenthèse et simplification haut/bas.
Bonjour,
Bravo LeHibou ! J'avais séché 
Par contre pour la fin, inutile de réduire au même dénominateur.
Il suffit de distribuer 
Par contre pour la fin, inutile de réduire au même dénominateur.
Il suffit de distribuer
Ah oui, bien sûr, c'est ma culture Shaddok, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué
Merci Sylvieg !
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