Niveau Licence-pas de math

Raisonnement par récurrence

Posté par
Sokkok 29-11-21 à 20:52

Bonjour j'ai une question sur la correction exercice raisonnment par récurrence.

Ma question je ne comprends pas pourquoi on ajoute + (n + 1)(n + 1 + 3) la fin de la somme pour la solution question (2) c'est à dire la fin de i(i+3) ???

Exercice :
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Soit n un entier, montrer par récurrence que :

$\large \sum_{i=1}^{n}{i(i+3)} = \frac{1}{3}n(n+1)(n+5)$

Correction :
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1) On vérifie pour n = 1 :

$\large 4 = \frac{1}{3}.1\times 2\times 6 = \frac{12}{3} = 4$

2) On suppose vrai au rang n on calcule au rang n + 1 et l'on doit obtenir :

$\large \sum_{i=1}^{n+1}{i(i+3)} = \frac{1}{3}(n+1)((n+1)+1)(n+1)+5)$

$\large \sum_{i=1}^{n+1}{i(i+3)} = \sum_{i=1}^{n}{i(i+3)} +(n+1)(n+1+3) = \frac{1}{3}(n(n+1)(n+5)+3(n+1)(n+4))$

On factorise par n + 1 :

$\large \sum_{i=1}^{n+1}{i(i+3)} = \frac{(n+1)}{3}(n(n+5)+3(n+4))=\frac{(n+1)}{3}(n^{2}+8n+12)=\frac{(n+1)(n+2)(n+6)}{3} = \frac{1}{3}(n+1)((n+1)+1)((n+1)+5)$

On a bien montré la formule pour tout n > 1.

Posté par re : Raisonnement par récurrence 29-11-21 à 21:02

bonjour,

$\large \sum_{i=1}^{n+1}{i(i+3)} = \sum_{i=1}^{n}{i(i+3)} +(n+1)(n+1+3) = \frac{1}{3}(n(n+1)(n+5)+3(n+1)(n+4))$

quand i= n+1,   i(i+3)  =   (n+1)(n+1  +3)
c'est le dernier élement de la somme jusque n+1

on a donc écrit
la somme jusque n+1    =  somme jusque n   +    (n+1)(n+1  +3)

Posté par re : Raisonnement par récurrence 29-11-21 à 21:33

Merci beaucoup , vous avez raison , j'ai compris maintenant

i = n +1 et i(i+3) =(n+1)(n+1+3) OK

J'ai perdu mes points sur cet exercice de mon controle hier

Posté par re : Raisonnement par récurrence 29-11-21 à 21:35

je t'en prie.
tu as perdu des points : le principal est d'avoir compris maintenant.
bonne soirée

Posté par re : Raisonnement par récurrence 29-11-21 à 21:40

Merci
mais j'ai oublié j'ai encore une petit question pourquoi il y a +3 devant (n+1)(n+1+3) c'est à dire +3(n+1)(n+4) le +3 ça vient du i(i+3) c'est ça ?

Posté par re : Raisonnement par récurrence 29-11-21 à 21:48

non, ça n'est pas ça..
on a mis 3   parce que   1/3   est mis en facteur pour toute l'expression

au départ
on a                  1/3  A     +     B
et on écrit    1/3  (  A    +   3 B)

soit  :
1/3 n (n+1)(n+5)     +      (n+1)(n+4)

on met 1/3  en facteur :
1/3  [  n(n+1)(n+5)   +   3(n+1)(n+4)  ]

OK ?