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raisonnement par récurrence

Posté par
bouchaib 14-08-24 à 01:20

Bonsoir,

   exercice :  montrer que  \sum_{k=1}^{k=n}{k^{3}(-1)^{k-1}}=\frac{n(n+1)}{2}\times(-1)^{n+1} pour tout n de N*.
  
   Réponse :   on ne peut la démontrer que par récurrence donc.
  
Initialisation :   pour le rang  n=k=1 on a ,   1^{3}\times (-1)^{1-1}=1\times(-1)^{0}=1=\frac{1\times(1+1)}{2}\times(-1)^{2}=1
Hérédité :  on suppose que pour  le rang  n   p(n) est vraie, et démontrons qu'elle est vraie pour p(n+1) :
    
   \sum_{k=1}^{k=n+1}{k^{3}(-1)^{(n-1)}}=(\sum_{k=1}^{k=n}{k^{3}(-1)^{n-1}}) + (n+1)^{3}(-1)^{n+1-1}
  
    D'après l'hypothèse de récurrence on peut écrire que :  
  
  \sum_{k=1}^{k=(n+1)}{k^{3}(-1)^{k-1}}=( \frac{n(n+1)}{2}\times (-1)^{n+1}) +(n+1)^{3}(-1)^{n+1-1}

   Arrivé là, j'ai essayé de sortir ce qu'il fallait et je n'ai pas pu.
  
  Merci de me débloquer.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : raisonnement par récurrence 14-08-24 à 01:59

Et pour n=2, ça marche ?

Posté par
bouchaibre : raisonnement par récurrence 14-08-24 à 02:05

Merci.
Pour n=2 .
Non les deux expressions ne sont pas égales.
-7 pour le membre de gauche et -3 pour celui de droite.

Posté par
carpediemre : raisonnement par récurrence 14-08-24 à 12:46

salut

indépendamment de la véracité de cette égalité je ne vois pas l'intérêt de la compliquer inutilement puisque c'est la même que :

\sum_1^n k^3 (-1)^k = \dfrac {n(n + 1)} 2 (-1)^n

bien plus légère en symboles ...

Posté par
bouchaibre : raisonnement par récurrence 14-08-24 à 13:07

Merci beaucoup.
Est-ce-qu'elle est correcte comme question?
Car quand on prend n=2, l'égalité non vérifiée et merci.

Posté par
carpediemre : raisonnement par récurrence 14-08-24 à 15:45

donc elle n'est pas correcte ...

essayer de calculer le premier membre pour les 4-5 premières valeurs de n pour (essayer de) déterminer une formule convenable ...

Posté par
bouchaibre : raisonnement par récurrence 14-08-24 à 18:29

Merci !

Posté par
bouchaibre : raisonnement par récurrence 14-08-24 à 20:29

Bonsoir ,
Les calculs du premier membre pour les 4-5 premiers valeurs de n sont :

   Pour n=1  on trouve  1 comme somme
Pour n= 2 on trouve -9
Pour n=3   on trouve 20
  Pour n=4  on trouve -44
   Pour n =5 on trouve  81
Et ces résultats  m'inspirent aucune idée pour réctifier  l'expression incorrecte des données.
Merci par avance.

Posté par
gts2re : raisonnement par récurrence 15-08-24 à 08:30

Bonjour,

Cela ne parait pas évident à deviner.  
Mathematica  trouve :

\sum_{i=1}^n\left[i^3 \cdot (-1)^i\right]=\frac 18\left( (-1)^{n+1} (-4 n^3-6 n^2+1)+1\right)

Posté par
bouchaibre : raisonnement par récurrence 15-08-24 à 13:11

Bonjour,

Comment cela est possible ?
J'ai perdu beaucoup de temps pour le résoudre pour découvrir qu'il est erroné !
C'est impossible pour moi d'arriver à cette formule !
Merci encore.

Posté par
gts2re : raisonnement par récurrence 15-08-24 à 15:05

Citation :
C'est impossible pour moi d'arriver à cette formule !

Tout à fait.
Cela a l'air d'être une "simple" faute de frappe :

\sum_{i=1}^n i^2\cdot (-1)^{i - 1}=\frac{n (n+1)}{2} (-1)^{n+1}

un 3 à la place d'un 2.

Posté par
bouchaibre : raisonnement par récurrence 15-08-24 à 16:40

Merci beaucoup !

Posté par
bouchaibre : raisonnement par récurrence 15-08-24 à 16:45

Et ça marche avec cette correction. Votre correction.  Je vous en remercie !
Parfois on perd du temps fou, en croyant l'énoncé  .


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