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rang d'un matrice : une méthode sympas

Posté par amethyste 18-06-15 à 18:53

salut!

rang d'un matrice : une méthode sympa

pareil ça m'évitera de re écrire à la main pour une autre fois

(j'avais posté ça pour repondre sur un topic )

... en ce qui concerne la résolution générale de la recherche du rang de toute matrice non nulle $M  \in \mathcal{M}_{n ,p  }(K)$

après donc avoir traité cette matrice là en éliminant les colonnes et lignes nulles
puis éliminés pour chaque série de vecteurs (colonnes ) colinéaires en en gardant un seul
puis de même sur la transposé de la matrice éliminés pour chaque série de vecteurs (colonnes ) colinéaires en en gardant un seul

le traitement au préalable de cette matrice donnant une matrice (pas forcément la même mais on garde la  même notation pour cette matrice)
$M \in \mathcal{M}_{n ,p  }(K)$ de composantes $m_{ij}\in K$ et dont on recherche le rang

si la matrice $M$ ne possède qu'une seule colonne alors la matrice est de rang 1 mais sinon

on considére  le K-l'espace vectoriel euclidien de dimension n noté $K^n$

pour deux vecteurs $V=(v_1,v_2,...,v_n)\in K^n$ et $W=(w_1,w_2,...,w_n)\in K^n$

le produit scalaire euclidien noté   $<V|W>\tex {   }=v_1.w_1+v_2.w_2+...+v_n.w_n$

on peut traiter le problème de la recherche du rang de la matrice $M$ en se dotant d'une loi de composition interne dans   $K^n$

définie par   $V\times W:K^n\times K^n\rightarrow K^n$ selon $V\times W=\tex {   }<V|V>.W-<V|W>.V$

pour ce faire on va construire deux suites finies de vecteurs notés $V_{i,j}$ et $W_i$

par ailleurs à toute $j$ ème colonne de la matrice $M$ dont on recherche le rang

on propose la notation $M_j=(m_{1j},m_{2j},...,m_{nj})\in K^n$ est donc un vecteur

on pose $W_1=M_1$ et $V_{1,1}=M_2$

cette construction s'effectuant dans un ordre précis en suivant les étapes

Etape  N°1 :

si   $<W_1\times V_{11}|W_1\times V_{11}>\tex {   } = 0$ alors on élimine la deuxieme colonne de la matrice   $M$

cette élimination donne une nouvelle matrice M

si cette nouvelle matrice $M$ ne possede plus de deuxieme colonne  alors la matrice est de rang $1$ mais sinon on reviens à l'étape 1

si   $<W_1\times V_{11}|W_1\times V_{11}>\tex {   } \neq  0$ et que la matrice ne possède pas de troisième colonne alors la matrice est de rang 2 mais sinon à l'étape 2

Etape  N°2 :

on pose   $V_{1,2}=M_3$

$V_{2,2}=W_1\times V_{12}$

si   $<W_2\times V_{22}|W_2\times V_{22}>\tex {   } = 0$    alors on élimine la troisième  colonne de la matrice   $M$

cette élimination donne une nouvelle matrice M

si cette nouvelle matrice $M$ ne possede plus de troisième colonne alors la matrice est de rang $2$ mais sinon on reviens à l'étape 2

si   $<W_2\times V_{22}|W_2\times V_{22}>\tex {   } \neq  0$ et que la matrice ne possède pas de quatrième colonne alors la matrice est de rang 3 mais sinon à l'étape 3

Etape  N°3 :

on pose   $V_{1,3}=M_4$

$V_{2,3}=W_1\times V_{13}$

$V_{3,3}=W_2\times V_{23}$

si   $<W_3\times V_{33}|W_3\times V_{33}>\tex {   } = 0$    alors on élimine la troisième  colonne de la matrice   $M$

cette élimination donne une nouvelle matrice M

si cette nouvelle matrice $M$ ne possede plus de quatrième colonne alors la matrice est de rang $3$ mais sinon on reviens à l'étape 3

si   $<W_2\times V_{22}|W_2\times V_{22}>\tex {   } \neq  0$ et que la matrice ne possède pas de cinquième colonne alors la matrice est de rang 4 mais sinon à l'étape 4

Etape  N°4 :

on pose   $V_{1,4}=M_5$

et ainsi de suite ...

Posté par re : rang d'un matrice : une méthode sympas 29-06-15 à 06:50

bon alors j'avais écrit ça très vite et très mal (avec deux fautes importantes quand même)
je m'en suis aperçu en re-écrivant au propre tout ça

bref je signale les deux erreurs

première erreur : je parle de produit scalaire euclidien et c'est une faute

il faudrait ne pas en parler et juste laisser sans autre commentaire

la forme bilinéaire definie par $\langle V,W \rangle =v_1w_1+v_2w_2+...+v_nw_n$

qui peut tres bien avoir une solution sur $\mathbb {C}$ si il s'agit de rechercher le rang d'une matrice à coefficients complexes

deuxième erreur :

autre le fait que c'est tres mal écrit (mais bon à la limite c'est lisible )

au passage des étapes je ne definit pas les vecteurs $W_i$

il fallait comprendre

$W_2=W_1\times V_{11}$ donc ici les $W_i$ et les $V_{11}$ sont des vecteurs

(avec les indices double on pourrait penser qu'il s'agirai de composantes de matrices , mais si on suit les définition données on voit bien que non)

$W_3=W_2\times V_{22}$

... etc ... bref $W_u=W_{u-1}\times V_{u-1,u-1}$

Posté par re : rang d'un matrice : une méthode sympas 29-06-15 à 09:18

C'est tout bêtement du Gram-Schmidt, qui se casse la figure quand on le sort du cadre euclidien : essayer avec la matrice $\begin{pmatrix} 1&0\\ i&0\\ 0&1\end{pmatrix}$ .

Posté par re : rang d'un matrice : une méthode sympas 29-06-15 à 09:27

Robot tu as mal appliqué l'algo

j'obtiens un rang de 2 et en plus la forme donne 0 pour solution

Posté par re : rang d'un matrice : une méthode sympas 29-06-15 à 09:31

Si tu n'es même pas capable d'appliquer correctement ton algorithme ...
Ecris ton calcul ici.

Posté par re : rang d'un matrice : une méthode sympas 29-06-15 à 09:40

ok chiche

au préalable j'ai dit qui fallait éliminer les series de vecteurs colinéaires ormis en en gardant un seul de chaque série

or au préalable on voit qu'ils le sont pas

Posté par re : rang d'un matrice : une méthode sympas 29-06-15 à 09:43

certes

je dois modifier l'algo

bon je reviendrai

Posté par re : rang d'un matrice : une méthode sympas 29-06-15 à 10:02

au fait ... merci Robot

je reviendrai ... je suis pas encore foutu, ...pas encore !

je dois faire des trucs avant mais ...