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Supposons qu'une telle fraction p/q (réduite à sa plus simple expression) existe.
p⁵/q⁵ + p/q =(p⁵+pq⁴)/q⁵
= p(p⁴+q⁴)/q₅ = entier.
p étant premier avec q, p⁴+q⁴ est divisible par q⁴ et donc par q; p⁴ serait divisible par q, ce qui est impossible.
La supposition est fausse.
L'équation x⁵+x-a = 0 n'a pas de solution rationnelle.

En généralisant : x^m+xⁿ-entier = 0 n'a pas de solution rationnelle.

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pour l'équation proposée, P⁵ + p*q⁴= 10*q⁵ montre
que p divise 10. Les valeurs possibles pour p sont 1,2,5 ou 10.Il suffit maintenant de montrer qu'aucun de ces quatre nombres ne convient.
A+