(j'ai pas trouvé de nom intéressant à donner au topic )

Ca ne me paraît pas si énorme que ça. Si on explique à quelqu'un que , il peut être naturel de penser que .
Les difficultés à raisonner sur l'ensemble vide sont courantes.

en parlant de , voir ce topic L'infini ... fini ?

Je ne vois pas trop le rapport.

Bonjour,


La règle retenue me semble posséder une  cohérence certaine;
la factorielle est définie pour un entier non nul:





Alain

Bonjour alainpaul

Si la notion de factorielle est définie à partir d'elle-même, on n'est guère avancé, non ?

Le fait que 0!=1 ne fait aucun doute, c'est bien le nombre de permutations de l'ensemble vide.
Mais la réaction de BO55K3V me semble exagérée. Les erreurs de raisonnement à propos de l'ensemble vide sont très fréquents.
Quel est le déterminant de la matrice à 0 ligne et 0 colonne ? Cette matrice est-elle inversible ?

Bon,

Oui,la factorielle peut être définie à partir d'elle-même sur les entiers positifs:


et donc ce que j'avais écrit:



Alain

ou bien le nombre de bijections d'un ensemble vide dans lui même est 0!=1 avec 0 est le cardinal de l'ensemble vide

pour démontrer ensuite qu'il existe bien une bijection d'un ensemble vide dans lui même on pose la démo ainsi

il suffit de démontrer qu'il existe bien une application d'un ensemble vide   dans un ensemble quelconque (donc pouvant lui aussi être vide)

puis de démontrer que cette application est à la fois une surjection et une injection


cette application existe et celle ci est unique car elle correspond au graphe

où désigne l'ensemble de toutes les parties de  


effectivement dans ce cas le domaine de définition du graphe   est  

  

or pour qu'une application entre deux ensembles et existe il faut que cette  correspondance de   vers possède un graphe qui soit fonctionnel et tel que de plus   soit le domaine de définition de ce graphe ce qui est le cas ici car on vérifie



où la correspondance se définit par un triplet

par ailleurs ce graphe est effectivement fonctionnel car pour qu'un graphe de   vers   soit fonctionnel il faut et il suffit que

soit uniquement que   ce qui est le cas ici car     et que par conséquent il n'existe pas d'élément

soit uniquement que   est un singleton


on demontre que cette application   est une injection effectivement (selon   ) on vérifie bien on obtiens bien l'implication logique qui reste vrai

cette application est aussi une surjection car l'ensemble d'application du graphe   est l'ensemble en effet ici

  

@alainpaul, si tu définis la factorielle par récurrence, comment initialises-tu cette récurrence ?  Ton argument tourne en rond.

...et puis bon en procédant de la même manière on arrive aussi à démontrer qu'il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide A vers un ensemble vide B (ça peut être utile même s'il a fallu qu'avec ma démo je trouve le moyen de dire une connerie l'autre jour ça m'énerve des fois de passer du temps à démontrer un truc et de pas en tirer les conséquences logiques et simples )

Bonsoir,


Je descends la récurrence ,elle s'arrête sur le dernier
entier positif :



Alain

Tu ne réponds pas à la question : comment initialises-tu la récurrence ? En posant 0!=1 ? Ton argument se mord la queue, alors.

salut camarade Alain Paul

...faut se mefier avec ça : car que serait-il passé si pour les bijections on aurait pas eu de bijections entre deux ensembles vides ?

là on a de la chance que ça coincide bien mais ...

Bon,


Regardons aussi l'écriture polynomiale  :

et exp(x),

nous avons là toute une cohérence de conventions!



alain

camarade Alain Paul alors dans un autre registre

pour qu'elles raisons 0^0=1 si 0 est le cardinal de l'ensemble vide mais n'est pas valable pour 0 est un nombre réel ?

tu vois là ça coincide pas car entre autre il y a un morphisme de vers qui est le logarithme népérien par lequel on peut écrire

et un autre   vers qui est l'exponentielle de base  par lequel on peut écrire  

pour qu'au final on puisse établir

mais interdit que x=0 car 0 n'appartiens pas au domaine de définition de log

dans ce cas comment saurai tu que 0^0=1 est valable si 0 est le cardinal d'un ensemble vide ?

ou vice versa que 0^0 n'a pas de solution si x est réel ?

Bonjour,


Tu dis a⁰=1 tout a < > 0 ,mais que 0⁰
n'est pas défini, d'accord  mais " 0 le cardinal de l'ensemble vide ..."

Là,je ne suis plus du tout dans le coup.



Serais-tu intéressé par la question posée par B055K3V concernant
les équations fonctionnelles,je trouve ce thème très riche et
à ma portée,



Alain

salut Alain Paul non non mais c'est à ta porté attend en fait bon on se parle jamais mais attend ...
franchement t'inquiete ...(je me marre ...si tu savais va sur l'autre fil bidules pour un truc logique tu va rigoler ... mdrrr lollll)

bon sinon non j'ai pas dit ça (regarde la demo plus haut et adapte là selon les cardinaux des ensembles A et B )
ici si l'ensemble A est de cardinal a et l'ensemble B est de cardinal b alors donne le cardinal de l'ensemble de toutes les applications de A vers B
et pour une bijection de A vers B (il faut verifier a=b) alors la quantité de bijections possible entre A et B est donné par la factorielle a!=b!

dans la demo en haut on a posé que A et B sont vides et on a vu qu'il existe une bijection possible entre A et B de sorte que 0!=1

en reprenant le même type de demo on va trouver que mais aussi

par contre étant donné qu'il n'existe pas d'application d'un ensemble A non vide vers un ensemble B qui est vide

alors on verifie avec   

voilà camarade

bon allé pour déstresser quoi de mieux qu'un peu de d'allemand qu'on apprend en musique avec des paroles simples sur un truc "néo punk"?



Eisbär

Ich möchte ein Eisbär sein
im kalten Polar
dann müßte ich nicht mehr schrei'n
alles wär' so klar

Ich möchte ein Eisbär sein im kalten Polar
dann müßte ich nicht mehr schrei'n
alles wär' so klar

Eisbär'n müssen nie weinen

Ja wohl,


Humour polaire ,ah oui!
Je ne suis pas stressé et je m'en vais acheter un pantalon
pour l'été à Sainte Luce,


Alain

...mais non mais je suis nul en fait (je croyais que t'avais compris enfin tu est allé sur le truc bidule? tu sais je dit des tas de conneries des fois bon là encore ça va mais...) en fait je suis autodidacte mais bon j'ai du mal ...
enfin ça se voit quand même ...

bon sinon la musique est chouette

on calclue la limite de x log(x) (qui vaut 0 en 0) et on passe à l'exponentielle ...

Well,

Je me souviens d'une teutonne chanson:

ou quelque chose de ce genre.


**B055K3V**

Je t'attends sur "l'équation fonctionnelle",



Alain

En tous cas, il ne me parait du tout choquant qu'un élève de terminale pense que 0! = 0
les dénombrements ne sont même plus au programme, alors que dire des notions plus "savantes"