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reciproque

Posté par
Disiz 26-06-19 à 22:59

  Salut,
\begin{array}{l}{\text { Montrer que la fonction } f \text { admet, sur un intervalle que lon déterminera, une fonction réciproque lon déterminera. }} \\ {f(x)=\sqrt[3]{1+\sqrt{1+x}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{1+x}}}\end{array}

Comment tu trouves la reciproque de f, car c est un peu dure avec le ^3?qu est ce que tu pense

Posté par Profil Ramanujanre : reciproque 27-06-19 à 02:12

Bonsoir,

Il faut d'abord déterminer le domaine de définition de f puis fixer un y dans \R et résoudre f(x)=y d'inconnue x.

Posté par
Disizre : reciproque 27-06-19 à 06:12

ok no problème ici la fonction existe si le seulement  x\ge -1 mais comme tu dis en fixant le y dans\mathbb{R} c 'est beaucoup beaucoup de calcul pour sortir le x .Tu connais le astuce différente pour trouver direct le résultat.?

je réfléchis peut être sur le méthode de  Ehrenfried Walther von Tschirnhaus pour transformé le radical en polynôme ?

Posté par
Disizre : reciproque 27-06-19 à 06:36

Un peu difficile avec le Tschirnhaus  , peut être le Cardan ?

Posté par
naghmouchre : reciproque 27-06-19 à 07:20

Bonjour.

   f est définie pour  -1   x    0

Posté par
Disizre : reciproque 27-06-19 à 08:14

salut,

no it's a problem.  Tu peux trouver une valeur come f(2) par exemple qui contredit ton ensemble de départ . tu n 'es pas d 'accor?

Posté par
lakere : reciproque 27-06-19 à 08:51

Bonjour,

Si on admet que la fonction racine cubique est  définie sur \mathbb{R}:

  f est décroissante sur [-1,+\infty[ à valeurs dans ]0,2]

Elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0,2]

Commence par élever au cube: y=\sqrt[3]{1+\sqrt{1+x}} + \sqrt[3]{1-\sqrt{1+x}}

y^3=\cdots

Pour info, tu dois tomber sur:

   f^{-1}(x)=\left(\dfrac{2-x^3}{3x}\right)^3 définie sur ]0,2]

Ce n'est que du calcul...

Posté par
Disizre : reciproque 27-06-19 à 12:50

Merci lake

f \text { est décroissante sur }[-1,+\infty[\text { à valeurs dans }] 0,2]

ok mais pour trouver l'intervalle d 'arrivée tu as fais des calculs algébrique pour montrer qu'elle est majoré par le 2 ou alors tu as fais la dérivation?

y^{3}= ok je ferai avec l'identité cubique c 'est plus facile tu as raison beaucoup de calculs s 'efface.
Mais que pense tu de le résolution par Cardan qui est plus compliqué que ce que tu as écris , c'est vrai.?  

Posté par Profil Ramanujanre : reciproque 27-06-19 à 12:56

A mon avis, tableau de variation.

Posté par
fortissimo2re : reciproque 27-06-19 à 12:59

Je doute qu'on puisse faire coincider une telle fonction

Si elle existe une fonction réciproque est unique or la fonction réciproque exhibée n'est clairement pas polynomiale (et encore moins de degré 3)

(cela dit je ne donne que l'avis d'un petit étudiant en maths sup)

Posté par
fortissimo2re : reciproque 27-06-19 à 13:07

Pour l'image par la fonction

On dérive puis on factorise par une expression positive
ensuite on a une différence entre deux fractions dont on peut déduire le signe avec des inégalités

ensuite la fonction est continue décroissante donc il suffit de regarder un peu les "bords" de l'ensemble de définition

Posté par
malou Webmasterre : reciproque 27-06-19 à 14:39

fortissimo2 merci de fermer ton ancien compte, le multicompte n'est pas toléré sur et tu as du voir le message d'alerte....

Posté par
lakere : reciproque 27-06-19 à 14:59

Citation :
Ok mais pour trouver l'intervalle d 'arrivée tu as fais des calculs algébrique pour montrer qu'elle est majoré par le 2 ou alors tu as fais la dérivation?


La dérivée est clairement négative sur ]-1,+\infty[

La moindre des choses, c'est de la calculer.

Pour la suite, n'en déplaise à fortissimo2:

Citation :
Je doute qu'on puisse faire coincider une telle fonction


y=\sqrt[3]{1+\sqrt{1+x}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{1+x}}=a+b

y^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3aby

  Or a^3+b^3=2 et ab=-\sqrt[3]{x}

Les calculs sont finalement très simples.
  

Posté par
lakere : reciproque 27-06-19 à 15:49

Une erreur:

Citation :
La dérivée est clairement négative sur ]-1,+\infty[


Non:

   sur [-1,0[\cup]0,+\infty[

Posté par
fortissimo2re : reciproque 27-06-19 à 23:06

Je ne me suis pas bien exprimé
Je parlais de l'impossibilité d'utiliser la « résolution par Cardan » que l'auteur du post a souhaité utiliser

Posté par
lakere : reciproque 28-06-19 à 18:07

Citation :
Je  ne me suis pas bien exprimé


Pas du tout, je viens de comprendre que tu t'adressais à Disiz et non à moi.
Il m'arrive d'être un peu long à la détente...


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