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Réciproque du théorème de Thalès

Posté par
Plot
02-02-24 à 16:40

Bonjour,
Dans un manuel scolaire, la réciproque du théorème de Thalès est énoncée comme suit :

Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :
M est un point de la demi-droite [AB),
N est un point de la demi-droite [AC),
AM/AB=AN/AC,
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Ma question : Pourrait-on remplacer AM/AB=AN/AC par AM/AB=MN/BC ?
Autrement dit, si on a proportionnalité avec deux côtés, est-ce suffisant pour que les deux triangles soient semblables ?
Je ne sais pas comment passer de AM/AB=MN/BC à AM/AB=AN/AC pour montrer l'équivalence entre ces deux égalités.

Comment faites-vous cela ? Merci.

Posté par
carpediem
re : Réciproque du théorème de Thalès 02-02-24 à 17:28

salut

il suffit de travailler avec "Thalès vectoriel" (donc les homothéties) ou avec les mesures algébriques et tout vient naturellement avec la relation de Chasles ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Réciproque du théorème de Thalès 02-02-24 à 18:37

Bonsoir,
@Plot,
Dans la figure ci-dessous, \; (MN) (BC) .
Donc \; AM/AB = MN/BC .
Réciproque du théorème de Thalès

Avec ce que tu proposes, on aurait aussi \; (MN') (BC) \; car \; AM/AB = MN'/BC .

Posté par
Plot
re : Réciproque du théorème de Thalès 03-02-24 à 08:12

Merci Sylvieg pour le contre-exemple.
Si dans les hypothèse on écrit "M est un point du segment [AB],
N est un point du segment [AC]", on évite le cas que tu  proposes.

Capediem : Il est facile de montrer que si AB/AM=AC/AN=k alors BC/MN=k en passant aux égalités vectorielles et en utilisant la relation de Chasles.

Par contre, si je pars de AB/AM=BC/MN=k alors je peux écrire que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AM} mais je ne peux pas écrire que \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{MN} puisque je ne sais pas que le droites (BC) et (MN) sont parallèles. Donc je ne peux pas travailler avec des égalités vectorielles.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Réciproque du théorème de Thalès 03-02-24 à 11:28

Citation :
Si dans les hypothèse on écrit "M est un point du segment [AB],
N est un point du segment [AC]", on évite le cas que tu proposes.
Non :
Réciproque du théorème de Thalès

Posté par
carpediem
re : Réciproque du théorème de Thalès 03-02-24 à 14:32

Plot @ 03-02-2024 à 08:12

Par contre, si je pars de AB/AM=BC/MN=k alors je peux écrire que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AM} mais je ne peux pas écrire que \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{MN} puisque je ne sais pas que le droites (BC) et (MN) sont parallèles. Donc je ne peux pas travailler avec des égalités vectorielles.
ce qui montre bien qu'il faut une condition supplémentaire pour avoir le parallélisme

quand je dis "tout vient naturellement" c'est bien sûr "la conclusion que l'on veut" ou au contraire pas la conclusion !!



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