Bonjour,

Je tente quelque chose de simple..

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soit 2+2+1=5--->5/3 ---> 100x3/5 =60

Bravo dpi   , restera la loi de X ,

Bonsoir,
j'ai comme un doute sur le raisonnement de dpi, qui est vraisemblablement celui de flight.
On a pas E(f(X))=f(E(X)).
De fait une simulation sur trois millions d'essais me donne une espérance d'environ 60,24.

Bonjour verdurin

Pa r définition pour 3 millions d'essais il devait y avoir
2 millions de 2 et 1 million de 3  

Pardon ...et 1 million de 1

Pour  60.24  le test devrait compter environ  198000  2 et102000 1
ce qui est très près de l'énoncé  2/3 1/3

salut

soit Y_n la variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre 2/3 : donc

et posons la variable aléatoire donnant la somme gagnée le n-ième jour

les variables X_n sont identiques et indépendantes car les Y_n le sont

posons enfin la variable aléatoire donnant la somme totale obtenue au n-ième jour

alors   où   suit la loi binomiale de paramètres n et 2/3

ce qui donne la loi de S_n et



pour arriver à 100,  n peut prendre les valeurs paires de 50 (100 = 50 * 2) à 100 = 100 * 1 car à toutes pièces de 2 en moins il faut rajouter deux pièces de 1 donc

n prend toutes les valeurs paires n = 50, 52, 54, ..., 100 et écrivant alors n = 50 + 2k pour k variant de 0 à 25 et alors

mais pour dépasser 100 on peut aussi arriver à 99 + 2 c'est à dire obtenir un nombre impair de 1 zet des 2 pour arriver à 99 et nécessairement finir par 2

pour n = 2k + 1 avec k variant de 1 à 99 on a alors

to be continued ...

Bonsoir à tous.
Pour l'espérance on peut voir sur un exemple simple pourquoi elle n'est pas égale à 60.

On suppose que l'expérience s'arrête dès que le total est supérieur ou égal à 4.
Ce total peut-être atteint en :
2 jours avec 2+2 et donc une proba de 4/9=12/27
3 jours avec 2+1+..., 1+2+... ou 1+1+2 donc une proba de 14/27
4 jours avec 1+1+1+... donc une proba de 1/27
L'espérance du nombre de jours est donc (212+314+41)/27=70/272,59.
Ce qui est strictement plus grand que 4/(5/3)=12/5=2,4.

Pour la loi de X, en reprenant les notations de carpediem.
On a si ou si et que l'on tire un 2 au n-ième jour, ces deux cas étant incompatibles.
D'où

À prendre avec des pincettes car je suis malade.

Bonsoir Verdurin   pour cette partie du calcul de ton post du 4/12 à 18h25  "3 jours avec 2+1+..., 1+2+... ou 1+1+2 donc une proba de 14/27"  le resultat m'a l'air bizzare,  en effet par calcul direct avec la loi binomiale  cela donnerait C(3,1)*(2/3)*(1/3)²=2/9 ,... pourquoi 14/27 ?

...j'ai relu ton dernier post  ,pour P(X=n) je ne vois pas trop comment ta formule marche dans la pratique , comment est ce que je peux verifier que  P(X=50)=(2/3)⁵⁰  avec ta formule ?

Bonsoir flight.
Pour le calcul avec arrêt à 4.
On arrête le troisième jour avec les tirages suivants :
1+1+2 proba 2/27
1+2+1 proba 2/27
1+2+2 proba 4/27
2+1+1 proba 2/27
2+1+2 proba 4/27
Ce qui fait bien un total de 14/27.
Il faut remarquer que l'ordre est important, avec deux 2 et un 1 on arrête soit en deux jours soit en trois, et c'est ce qui fait que la loi binomiale n'est pas utilisable directement.

Pour le second post je me suis vraisemblablement trompé

En fait je ne me suis pas trompé ( du moins pas sur le cas n=50 ).
La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres 49 et 2/3.
On a
Il est clair que et que d'où

a tu testé d'autres valeur de k ?....

de mon coté j'ai trouvé la formule suivante testé pour quelques valeurs de k :
P(X=k)=C(k-1,100-k).((2/3)^101-k.(1/3)^2j-101+(2/3)^100-k.(1/3)^2k-100] + C(k-1,99-k)(2/3)^100-k(1/3)2k-100    avec (C(n,p)=0 si p>n)

pour k=50  j'obtiens bien P(X=50)=(2/3)⁵⁰
pour k =55, j'obtiens P(X=55)=0,019  et une simulation me donne la meme valeur .
pour k =58, j'obtiens P(X=58)=0,115  et une simulation me donne la meme valeur .
pour k =60 j'obtiens P(X=60)=0,181  et une simulation me donne la meme valeur .

La question pratique étant  Louis veut partir avec 100€ ,combien de
jours doit-il attendre en moyenne  ?
Ma réponse simpliste est 60.

je trouve aussi 60

Bonsoir à tous.
J'ai l'impression que la formule donnée par flight est la même que celle que j'ai donnée.
Avec un désaccord pour k=55 : je trouve P(X=55)0,008 et mes simulations sont du même avis. Je me demande si il n'y a pas une faute de frappe 55 mis pour 65 ce qui donnerait le même résultat pour nous deux.

Je ne sais comment vous avez fait le calcul de l'espérance car mon tableur ( LibreOfficeCalc ) donne aussi 60,24.
Je me demande si il n'y a pas eu des arrondis inopportuns.

Un calcul exact avec Xcas donne

Si on fait un test qui respecte

On obtient pas un nombre entier car le petit Louis ne gagne pas exactement 100€ : il gagne 100€ ou 101€.

Au passage le dénominateur de la fraction que je donnai est 3⁹⁹ ce qui semble logique mais incompatible avec une proba du style 2.008/3 qui ne donnerait pas un numérateur entier.

À dpi.
On peut regarder ton raisonnement simple dans le cas où les dons s'arrêtent dès que le total est supérieur ou égal à 5.
On a 5/(5/3)=3 et ton raisonnement  semble en conclure qu'il faut en moyenne 3 jours pour avoir un total supérieur ou égal à 5.
Or il faut au moins 3 jours pour avoir ce résultat, mais peut-être 4 ou 5 jours.
En moyenne il faut donc strictement plus de 3 jours.
Et tu peux regarder tous les cas possibles ( ils sont peut nombreux ) pour calculer l'espérance ou faire une simulation.

Amicalement,
verdurin.

>verdurin
Je suis d'accord avec toi pour les petites périodes *,mais si
la somme n'est pas entière ,cela signifie que la proportion 2/3 1/3
n'est pas exactement respectée.

*par définition <100€
un exemple pour 60

Amicalement

Ce qui se passe c'est que l'on termine toujours par une « petite période ».
En 57 jours on a en moyenne 95€, et il faudra, en moyenne, plus de 3 jours pour dépasser 100€.

Normal , si en 57 jours le total  moyen est 95€ ce qui respecte bien
2/3 1/3 ,le fait de ne pas atteindre 100 € signifie que pour les 3 jours suivants la proportion n'est pas exactement  2/3 1/3

Oui, et c'est évident si on regarde les tirages qui terminent le jeu.
Ce que tu ne semble pas vouloir faire, malgré mes indications.