Bonjour

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Supposons que les entiers strictement positifs a, b et c vérifient les trois inégalités simultanément.

Soit u la suite définie par et la relation de récurrence : . On peut montrer par récurrence que la suite u est majorée par c+d. Or u est arithmético-géométrique ; la suite v définie par est géométrique de raison et de terme initial . Ainsi v et donc u divergent vers   , ce qui contredit le fait que u est majorée.

> blang

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Bravo.

Il y a une autre démonstration, très différente et très courte.
Si ça te tente de la chercher...

Bonsoir, voici ma méthode:

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raisonnons par l'absurde
Par récurrence montrons l'existence de p_n qui vérifie :
p_n*(a+b)<c+d
-> n=0, OK p₀=0
-> on admet 1 et 2, cela donne :
(a + b)(c + d) < ab + cd => (par P(n))p_n(a+b)²<ab+cd => (IAG)4p_n*ab<ab + cd => (4p_n-1)ab<cd
Puis par 3/: (a + b)cd < (c + d)ab => (4p_n-1)(a+b)*ab<(c+d)ab =>
(4p_n-1)(a+b)<c+d, d'où P(n+1), en posant p_n+1=4p_n-1
on conclut, par récurrence.
Et comme (p_n) est clairement divergente, on aboutit à une absurdité !

Bonjour

Voici une très jolie solution :

On considère le polynôme

P(x) = (x - a)(x - b)(x + c)(x + d) = (x² - (a + b)x + ab)(x² + (c + d)x + cd)

= x⁴ + [(c + d) - (a + b)]x³ + [ab + cd - (a + b)(c + d)]x² + [(c + d)ab - (a + b)cd]x + abcd

Si toutes les inégalités étaient vérifiées, tous les coefficients de P seraient strictement positifs, et donc P serait strictement positif sur +.
Or ce n'est visiblement pas le cas.

Cordialement
Frenicle

@ Frenicle :

Oui, il faut avouer que c'est joli