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Plaçons le grand rectangle sur un damier dont les cases carrées ont pour côtés 1/2 et sont alternativement noires et blanches (comme pour tout damier qui se respecte) !.

On fait en sorte que l'un des angles du rectangle coïncide avec l'angle d'une des cases du damier, disons une noire.

Puisque chaque petit rectangle a un côté entier, il est facile de constater, en faisant un petit dessin, son aire est coloriée pour moitié en blanc, pour moitié en noir.
(Ceci ne dépend pas du fait que les côtés du petit rectangle coïncident ou non avec le quadrillage du damier.)
Il en est donc nécessairement de même pour le grand rectangle, puisque les aires s'additionnent.

Supposons que les côtés du grand rectangle soient de longueur m + x et n + y avec m et n entiers et 0 x < 1, 0 y < 1.

L'aire totale du grand rectangle est donc (m + x)(n + y).

L'aire coloriée en noir devrait donc être moitié moindre, soit :  (m + x)(n + y)/2.

Mais, en distinguant selon que x et y sont inférieurs ou supérieurs à 1/2, un calcul élémentaire montre que l'aire noire vaut :

(m + x)(n + y)/2 + xy/2 si x 1/2 et y 1/2
(m + x)(n + y)/2 + (1 - x)y/2 si x 1/2 et y 1/2
(m + x)(n + y)/2 + (1 - y)x/2 si x 1/2 et y 1/2
(m + x)(n + y)/2 + (1 - x)(1 - y)/2 si x 1/2 et y 1/2

On a donc nécessairement x = 0 ou y = 0, QED.

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Yep, ça marche. Ma démonstration est plus courte mais beaucoup plus mystificatrice.