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Niveau terminale
récurrence
Posté par askk
Bonjour, pourriez vous m'aider s'il vous plaît à faire mon exercice :
Par récurrence montrer sur m ( avec m un entier naturel non nul ) :
(2 + 4 + 6+ · · + 2m) − m = m^2
• Initialisation : ici n = 0 donc k^2= 0^2 =0 et ainsi la propriété P0 est vraie.
• Hérédité : on démontre la propriété suivante :si la propriété est vraie pour un certain rang k ,alors la propriété est vraie pour le rang juste après c'est-à-dire pour le rang k +1
Pk vraie Pk+1 ?
La propriété se transmet de la valeur de l'indice k à la valeur de l'indice k +1.
On dit que la propriété est héréditaire . Page
• Transmission : Si la propriété Pk est vraie, montrons qu'alors Pk+1 est vraie aussi .
On sait (par hypothèse de récurrence) : (2+4+6+..+2k)- k= k^2 .
On veut démontrer que : (2+4+6+..+2k+2(k+1))- k-(k+1)= (k+1)^2 = k^2+2k+1
Mais je n'arrive pas à aller plus loin, je bloque…
Merci pour votre aide
Salut,
Évite les "copier/coller" de paragraphes ou bouts de phrase qui n'ont rien à faire ici.
Citation :
On veut démontrer que : (2+4+6+..+2k+2(k+1))- k-(k+1)= (k+1)^2 = k^2+2k+1
Il y a une erreur dans cette ligne.
On veut démontrer que : (2+4+6+..+2k+2(k+1))- k-(k+1)= (k+1)^2 = k^2+2k+1
essaye de la trouver ...
Salut
Erreur dans on veut démontrer que .... y'a pas le -k à gauche
Tu arrêtes ta somme à 2(k+1 ) et tu enlèves k+1
Mon expression de départ est : (2 + 4 + 6+ · · + 2m) − m = m^2
J'obtiens :
(2+4+6+..+2k+2(k+1))- k-(k+1) = (k+1)^2 = k^2+2k+1 ... je ne vois pas pourquoi on ne remplace pas ici aussi (en gras)
(en effet je suis perdu, car dans l'expression il y a 2 fois le m à gauche du "=" , sinon sur internet je comprends la plupart des raisonnement par récurrence)
Merci
Bin non ton expression de départ c'est pas
(2+4+6+...+2m)-(m-1)-m
2+4+6+...+2m s'arrête à m et tu lui enlèves m
Tu lui enlèves pas m-1 et m
Donc c'est
(2+4+6+..+2k+2(k+1))- (k+1) = (k+1)^2
Ce que tu dois comprendre dans la formule : (2 + 4 + 6+ · · + 2m) − m = m² ,
c'est qu'on retire seulement la moitié du dernier terme de la somme :
(2 + 4 + 6+ · · + 2m) − m = m²
L'avant dernier, et les précédents, n'ont rien à voir !
Donc pour l'étape suivante, si j'ai compris, d'après l'hypothèse de récurrence, j'ai :
(2 + 4 + 6+ · · + 2k) − k = k² donc (2+4+6+..+2k+2(k+1))- (k+1) = (k)^2 + (k+1) ?
On a ensuite (k)^2 + (k+1) = k^2+k+1
mais cette réponse est différente de : (k+1)^2 = k^2+2k+1 ... ( je ne trouve pas l'inégalité ) pour terminer la récurrence.
Où est ce que je fais l'erreur 
?
du calme et du sang froid
dans les demos par recurrence il faut y aller molo et partir d'un coté de l'équation pour arriver à l'autre
on par de ça
(2+4+6+..+2k+2(k+1))- (k+1)
or d'après l'hypothèse de recurrence tu connais
(2+4+6+..+2k)
donc tu remplaces et tu vois ce qu'il reste
est ce que c'est correct si j'écris:
(2+4+6+..+2k)- k = k^2 donc (2+4+6+..+2(k+1))- (k+1) = k^2 + 2(k+1)
On a ensuite k^2 + 2(k+1) = k^2+2k+1
et donc il suit que (2+4+6+..+2(k+1))- (k+1) = k^2
(car on sait que (k+1)^2= k^2+2k+1 )
?
Citation :
or d'après l'hypothèse de recurrence tu connais
(2+4+6+..+2k)
donc tu remplaces et tu vois ce qu'il reste
or d'après l'hypothèse de recurrence tu connais
(2+4+6+..+2k)
donc tu remplaces et tu vois ce qu'il reste
Je ne comprends pas pourquoi vous ne mettez pas de -k à l'expression : (2+4+6+..+2k)
On devrait écrire : (2+4+6+..+2k)-k ? non
Sinon j'obtiens : (2+4+6+..+ 2(k+1)-(k+1) = (k+1)^2
=(2+4+6+..+ 2k+2 - k-1) = (k+1)^2
= (2+4+6+..+ k+1 ) = (k+1)^2
Je pense que ce n'est pas correcte car j'ai essayé de développer ce qu'il y a entre parenthèse .
parce que toi tu pars de ça
(2+4+6+..+2k+2(k+1))- (k+1)
tu peux l'ecrire comme ça
(2+4+6+..+2k) +2(k+1))- (k+1) j'ai juste mis des espaces 
tu as vu dans l'initialisation que
(2 + 4 + 6+ · · + 2k) − k = k² donc tu peux en déduire (2 + 4 + 6+ · · + 2k) = ?
Citation :
donc tu peux en déduire (2 + 4 + 6+ · · + 2k) = ?
donc tu peux en déduire (2 + 4 + 6+ · · + 2k) = ?
donc (2 + 4 + 6+ · · + 2k) = k^2 +k
d'où (2 + 4 + 6+ · · + 2k+1) = (k+1)^2 +k +1
= k^2+ 3k +2
ok ce dont tu es sur d'après l'hypothese de recurrence
c'est ca
donc (2 + 4 + 6+ · · + 2k) = k^2 +k
maintenant on doit calculer ppur k+1 ceci
(2+4+6+..+2k +2(k+1))- (k+1)
of tu sais que
2 + 4 + 6+ · · + 2k = k^2 +k
donc remplaces le et calcules