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Récurrence

Posté par
zartos 20-06-20 à 17:31

Salut,

je dois montrer que \forall  n \ge 4    n^2 \le 3^n

Alors j'ai procédé par récurrence:

on veut montrer que (n+1)² \le 3^{n+1}

On constate que pour n\ge 4 on a (n+1)^2 \ge 25 et 48 \le 3n^2 \le 3^{n+1} mais on a besoin de majorer (n+1)^2 pour en déduire l'inégalité (n+1)² \le 3^{n+1} et c'est ce que je n'ai pas su faire

Merci d'avance

Posté par
Leilere : Récurrence 20-06-20 à 17:54

Bonjour,

si tu ne t'en sors pas avec la récurrence, tu peux peut-être explorer une autre piste ?
par exemple
remarque que   3n   >   e n     ;    ainsi   n²  - en >  n² - 3n
en étudiant  la fonction   x² - ex  pour x>= 4,  montre qu'elle est strictement décroissante,  puis en s'appuyant sur x=4, montre qu'elle est toujours négative...
C'est juste une idée  

j'espère que d'autres viendront répondre sur la récurrence !
Bonne fin de journée.

Posté par
carpediemre : Récurrence 20-06-20 à 18:22

salut

constater n'est pas une preuve ... et à la fin de l'année ne toujours pas savoir cet exercice type ...

3^n \ge n^2 => 3^{n + 1} \ge 3n^2

donc il suffit de montrer que et quand 3n^2 \ge (n + 1)^2 pour obtenir que 3^{n + 1} \ge (n + 1)^2

et pour comparer deux nombres on peut étudier le signe de leur différence ...

Posté par
alb12re : Récurrence 20-06-20 à 18:27

salut,
pourquoi se limiter aux entiers sup à 4 ?

Posté par
flightre : Récurrence 20-06-20 à 18:45

salut

une voie ... faut voir ....

n > n+1
2n > 2n + 1
on a de plus  n² > n  alors  2n² > 2n   et   2n² > 2n+1  et  2n+1 <  2n²   et en ajoutant n² au deux membres , il vient  :  n² + 2n + 1 < 3n²  <-->(n+1)² <3n²

ensuite  comme par hypothèse  n² < 3n   alors 3n² < 3n+1
comme précédemment  on avait  (n+1)² < 3n²   et que 3n² < 3n+1 , alors ....il suffit de recoller les expressions en gras

Posté par
flightre : Récurrence 20-06-20 à 18:47

oups  !! j'ai ecris des betises dès le depart !! je corrige ca

Posté par
carpediemre : Récurrence 20-06-20 à 18:53

il est évident que et quand 3n^2 \ge (n + 1)^2 puisque 3n^2 = n^2 + n^2 + n^2 ...

Posté par
zartosre : Récurrence 20-06-20 à 19:19

Merci à tous pour vos réponses, j'ai fini par faire ce qu'a proposé carpediem :

j'ai montré que pour tout n >= 4  3n² - (n+1)² \ge 0

Posté par
carpediemre : Récurrence 20-06-20 à 19:45

c'est la base ...

une remarque :

\forall n \in \N  :  n^2 \ge n^2 \\ \forall n \ge 2  :  n^2 \ge 2n \\ \forall n \ge 1  :  n^2 \ge 1

donc par somme \forall n \ge 2  :  3n^2 \ge (n + 1)^2

donc la propriété est héréditaire à partir du rang 2

or 1^2 \le 3^1 $ et $ 2^2 \e 3^2

donc propriété est vraie par récurrence pour tout n \ge 2 et vraie pour tout n (même 0)

je ne vois pas pourquoi on se limite à 4 ?

Posté par
carpediemre : Récurrence 20-06-20 à 19:46

carpediem @ 20-06-2020 à 19:45

c'est la base ...

une remarque :

\forall n \in \N  :  n^2 \ge n^2 \\ \forall n \ge 2  :  n^2 \ge 2n \\ \forall n \ge 1  :  n^2 \ge 1

donc par somme \forall n \ge 2  :  3n^2 \ge (n + 1)^2

donc la propriété est héréditaire à partir du rang 2

or 1^2 \le 3^1 $ et $ 2^2 \le 3^2

donc la propriété est vraie par récurrence pour tout n \ge 2 et vraie pour tout n (même 0)

je ne vois pas pourquoi on se limite à 4 ?

Posté par
co11re : Récurrence 20-06-20 à 19:53

Bonsoir
je ne veux pas m'immiscer dans votre discussion, ce serait inutile.

Mais juste, zartos, tu postes niveau lycée, or, sur ton profil c'est licence. Et donc il est difficile d'évaluer ton niveau de connaissances.

Posté par
zartosre : Récurrence 20-06-20 à 21:09

carpediem @ 20-06-2020 à 19:45


donc propriété est vraie par récurrence pour tout n \ge 2 et vraie pour tout n (même 0)

je ne vois pas pourquoi on se limite à 4 ?


C'est l'énonce qui le dit je vais demander au prof à la prochaine séance et je vous tiens au courant.

co11 vous avez raison, mais j'ai estimé que l'exercice était niveau teminal vu qu'il s'agit d'une simple démonstration par récurrence.

Posté par
flightre : Récurrence 20-06-20 à 21:39

de retour  

n² > n+1    alors  2n² > 2n+2 > 2n+1    alors   2n+1 < 2n²  et  n² +2n+1 < 3n²  <-->(n+1)²< 3n²

avec l'hypothèse de depart  on peut ecrire  que  3n² < 3n+1    et comme

(n+1)²< 3n²    alors   (n+1)² < 3n² < 3n+1  <--> (n+1)² < 3n+1   et voila


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