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Rédaction

Posté par
Matheuux
30-08-17 à 21:53

Bonjour,
J'aimerais savoir si quelqu'un sait pourquoi la contraposée du théorème de Thalès et sa réciproque contiennent tous deux la conditions de points alignés : pourriez-vous me donner deux cas pour lesquels, sans cette condition, les conclusions auxquelles elles amènent ne sont pas vérifiées ?
Je vous remercie par avance.

Posté par
lafol Moderateur
re : Rédaction 31-08-17 à 00:27

Bonsoir

tu veux dire qu'on aurait AB/BC = AB'/B'C' sans avoir (BB')//(CC') ?
Pour commencer, le th de Thalès est une notion affine, pas euclidienne, et les rapports se calculent sur un axe. Rien n'oblige à avoir la même unité de longueur sur tous les axes, même si depuis au moins 25 ans, plus personne ne dessine en collège ou lycée de repères non orthogonaux, ou même orthogonaux sans être orthonormés
Ensuite, même dans un espace normé, on peut arriver à des situations comme celle-ci : (mais tu remarqueras que calculer AB'/AC' pour le comparer à AB/AC n'est guère possible)

Rédaction

Posté par
Matheuux
re : Rédaction 31-08-17 à 10:27

Bonjour lafol et merci pour ta réponse.
J'aurais plutôt dit de comparer, comme c'est fait au collège, AB / AC avec AB' / AC'.
Cela change-t-il quelque chose par rapport à ta figure ?

Posté par
cocolaricotte
re : Rédaction 31-08-17 à 10:38

Tu vois quelle différence entre

comparer X et Y
et
comparer Y et X ?

Posté par
Matheuux
re : Rédaction 31-08-17 à 11:37

Aucune.
Je répondais juste à la question initiale de lafol.
Okay, je comprends pourquoi n'avoir les quotients égaux ne suffit pas à démontrer que les droites (BB') et (CC') sont parallèles : il manque l'alignement des points.

Maintenant, auriez-vous une figure pour démontrer la nécessite de l'alignement des points dans la réciproque, svp ?

Posté par
cocolaricotte
re : Rédaction 31-08-17 à 12:25

Je ne comprends pas ta question.

Posté par
Matheuux
re : Rédaction 31-08-17 à 12:45

Nous venons de montrer l'importance de l'alignement des points dans la contraposée.
C'est bien cela ?

Posté par
carpediem
re : Rédaction 31-08-17 à 14:06

salut

le calcule vectoriel répond à la question :

hypothèse : si A, B, C, D et E sont cinq points tels qu'il existe un réel k (non nul) tel que \vec {AC} = k\vec {AB}  et  \vec {AE} = k \vec {AD} alors :

conclusion : \vec {CE} = \vec {AE} - \vec {AC} = k( \vec {AD} - \vec {AB}) = k \vec {BD}

non seulement la colinéarité assure l'alignement des points mais aussi l'ordre de ces points : les points A, B, C et A, D, E sont alignés dans le même ordre (hypothèse)

de plus la colinéarité assure le parallélisme des droites (BD) et (CE) (conclusion)


la conclusion n'implique pas l'hypothèse ...


PS : il fut un temps où on travaillait cela avec les mesures algébriques ...


enfin il serait bien de nous citer précisément ce que tu appelles contraposée et réciproque du théorème de Thalès ...


évidemment au collège on ne connait pas les vecteurs : il faut donc traduire correctement tout ce qu'apportes comme information les relations vectorielles : (alignement + ordre des points sur chaque droite)

Posté par
Matheuux
re : Rédaction 31-08-17 à 14:38

Réciproque du théorème de Thalès :
Si A, M et B et A, N et C alignés et AM / AB = AN / AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Contraposée du théorème de Thalès :
Si A, M et B et A, N et C alignés et AM / AB n'est pas égal à AN / AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Je cherche à démontrer l'importance des points alignés dans la réciproque désormais : autrement dit, montrer que seuls les rapports égaux ne suffit pas à en déduire que les droites sont parallèles.

Posté par
cocolaricotte
re : Rédaction 31-08-17 à 14:40

C'est bien ce que lafol a fait.

Posté par
carpediem
re : Rédaction 31-08-17 à 15:11

Citation :
Je cherche à démontrer l'importance des points alignés dans la réciproque désormais : autrement dit, montrer que seuls les rapports égaux ne suffit pas à en déduire que les droites sont parallèles.


Rédaction

D appartient au cercle de centre A et passant par B
E appartient au cercle de centre A et passant par C

donc AD = AB et AE = AC et par conséquent AB/AC = AD/AE

les droites (BD) et (CE) ne sont pas parallèles ...

Posté par
Matheuux
re : Rédaction 31-08-17 à 15:21

Oui,  cocolaricotte, c'est moi qui me suis trompé dans mon calcul.
C'est pour cela que je n'avais pas la même chose que lafol.
Merci Carpediem, cela vient compléter mes recherches.
Ce que l'on vient de faire, c'est donc démontrer l'utilité des points alignés dans la réciproque (ici, on a égalités des rapports qui ne suffit pas à avoir des droites parallèles, car il manque les points alignés).

Merci pour votre aide et désolé pour mon erreur.

Maintenant, je cherche à montrer l'utilité des points alignés dans la contraposée (c'est-à-dire une configuration dans laquelle on n'a pas égalité des rapports et pourtant les droites sont parallèles, à cause du fait qu'il manque l'alignement des points).

Posté par
carpediem
re : Rédaction 31-08-17 à 15:45

ben franchement il n'y a plus rien :

il est trivial de tracer deux droites parallèles (BD) et (CE) et un point A quelconque hors de ces droites tels que AC/AB <> AE/AD ...

Posté par
Matheuux
re : Rédaction 31-08-17 à 15:53

Je t'avoue avoir pensé à cette solution Carpediem, mais j'avais l'impression de prendre le problème à l'envers...

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