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Règle des limites

Posté par
olivier6655 28-04-06 à 23:23

Bonsoir, petite question qui me turlupine au sujet des limites : on sait qu'infini sur infini est indéterminé.Mais dans le cas suivant :

f(x) x/x3
lim x

On a infini sur infini donc indéterminé mais pourtant en y regardant de plus près on pourrait dire que cette fraction tend vers zéro.Si quelqu'un peut m'expliquer ce cas antinomique, merci

Posté par kilébo (invité)re : Règle des limites 28-04-06 à 23:26

Indéterminé ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite. Indéterminé signifie qu'il faut faire appel à des arguments plus fins pour obtenir le résultat (ici c'est de simplifier par x). Souvent c'est un Développement limité ou, plus simplement, un équivalent.

Posté par
kaiser Moderateurre : Règle des limites 28-04-06 à 23:29

Bonsoir olivier

Indéterminée ne signifie pas que la limite n'existe pas. ça veut simplement dire que ça peut donner n'importe quoi (une limite finie, une limite infinie ou alors pas de limite du tout).
Dans l'exemple que tu donnes, on peut lever cette indétermination en simplifiant par x.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Règle des limites 28-04-06 à 23:29

Bon ben, trop tard !

Salut Kilébo !

Posté par
Céline_11re : Règle des limites 28-04-06 à 23:39

Ok merci, donc dans ce cas la limite est zéro ?

Posté par
olivier6655re : Règle des limites 28-04-06 à 23:44

Merci pour les infos. Oui je crois bien que tu avais raison alors Céline

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Règle des limites 29-04-06 à 07:04

Bonjour,

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{e^{x^2}-1}{x^2}=\frac{e^{x^2}-e^0}{x^2-0}\to \exp'(0)=\exp(0)=1

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hôpital
Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que f(b)=g(b)=0 et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que \lim_{x\to b}f(x)=\lim_{x\to b}g(x)=+\infty et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Nicolas

Posté par kilébo (invité)re : Règle des limites 29-04-06 à 10:16

Salut Kaiser !

Nicolas_75 quel sens de la synthèse ! Rassures-moi, ce n'est pas improvisé ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Règle des limites 29-04-06 à 11:01

Non, non. C'est une fiche que je garde au chaud, et que je resors pour les grandes occasions.

Posté par
olivier6655re : Règle des limites 29-04-06 à 13:17

Woaww merci pour ce document très intéressant. Voilà qui est très clair. Thanx Nico.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Règle des limites 29-04-06 à 13:22

Je t'en prie.


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