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Niveau terminale
relation de divisibilité dans Z
Posté par esor
Bonjour à tous/es,
Je n'arrives pas à résoudre cet exercice:
Soient a et b deux entiers relatifs.
Démontrer que : 13|(8a+5b) équivaut à 13|(5a+8b).
J'ai commencé en disant que n appartient à Z et qu'il existait k appartient à Z tel que 13k = 8a+5b avec k appartient à Z mais là je suis un peu bloquée ...
Merci par avance pour votre aide
bonjour merci de m'aider
je trouve que c'est bien égal à 5a - 8b mais je ne comprends pas bien comment vous avez réussi à admettre cette somme, et je ne sais pas comment le mettre en lien avec le départ ... (désolé pour toutes ces questions)
Citation :
je ne comprends pas bien comment vous avez réussi à admettre cette somme
je ne comprends pas bien comment vous avez réussi à admettre cette somme
Je n'ai rien admis du tout... j'ai simplement fait apparaître des termes intéressants.
Citation :
je ne sais pas comment le mettre en lien avec le départ
je ne sais pas comment le mettre en lien avec le départ
5a+8b=13a+13b-(8a+5b)=13(a+b)-(8a+5b).
Par hypothèse, 13 divise (8a+5b).
De plus, 13 divise ....
Donc 13 divise .....
A toi de compléter
La propriété à utiliser est :
Si d divise u et d divise v, alors d divise (u-v)...
Je t'ai quasiment tout dit maintenant. Essaie de proposer quelque chose.
non, si tu reprends les notations de mon message de 17:02, on a u=13(a+b). Maintenant, explique moi pourquoi 13 divise u ?
oui bien sûr 
(et aussi car a+b est entier relatif).
Maintenant, rédige la démonstration en entier stp pour vérifier que c'est compris
super merci !!!
alors pour la démonstration :
n appartient à Z.
On a 13 | 8a+5b
5a + 8b
=13a+13b -(8a-5b)
=13(a+b)-(8a-5b)
et 13a+13b - 8a - 5b
=5a-8b
Par hypothèse, 13 divise (8a+5b).
De plus, 13 divise 13(a+b)
donc 13 | (a+b) - (8a+5b)
Il y a beaucoup d'erreurs encore...
Citation :
On a 13 | 8a+5b
5a + 8b
=13a+13b -(8a+5b)
=13(a+b)-(8a+5b)
et 13a+13b - 8a - 5b
=5a-8b Tu vois donc bien qu'il y a un problème ! 5a+8b
5a-8b
Par hypothèse, 13 divise (8a+5b).
De plus, 13 divise 13(a+b)
donc 13 |13 (a+b) - (8a+5b)
Et il faut conclure
On a 13 | 8a+5b
5a + 8b
=13a+13b -(8a+5b)
=13(a+b)-(8a+5b)
et 13a+13b - 8a - 5b
=5a-8b Tu vois donc bien qu'il y a un problème ! 5a+8b
5a-8b
Par hypothèse, 13 divise (8a+5b).
De plus, 13 divise 13(a+b)
donc 13 |13 (a+b) - (8a+5b)
Et il faut conclure
D'autre part, je te signale que dans ton énoncé, il y a le mot "équivaut à". Il faut donc maintenant que tu t'attelles à montrer la réciproque.
je suis désolé j'avais bien noté des + dans (8a+5b) puis un - sur mon cahier ... je me suis mal relue
en revanche je ne dis pas que 5a + 8b = 5b + 8a alors je ne comprends pas ...
D'autre part j'avoue que je suis également perdue entre la conclusion et la réciproque ... je regarde ce que j'ai écrit et le sujet mais je peine à trouver la solution 
Citation :
je ne dis pas que 5a + 8b = 5b + 8a alors je ne comprends pas
je ne dis pas que 5a + 8b = 5b + 8a alors je ne comprends pas
Ton erreur de signe t'a fait écrire 5a+8b=5a-8b... si tu as réparé le problème de signe, tout va bien.
Pour la réciproque, tu dois montrer maintenant que si 13|(5a+8b), alors 13|(8a+5b).
C'est grosso modo la même idée...
Citation :
Ton erreur de signe t'a fait écrire 5a+8b=5a-8b... si tu as réparé le problème de signe, tout va bien.
C'est bon j'ai compris effectivement cette égalité avait un souci ahah
Ton erreur de signe t'a fait écrire 5a+8b=5a-8b... si tu as réparé le problème de signe, tout va bien.
Citation :
Pour la réciproque, tu dois montrer maintenant que si 13|(5a+8b), alors 13|(8a+5b).
C'est grosso modo la même idée...
je dois donc procéder de la même manière avec cette fois-ci 8b+5a ?Pour la réciproque, tu dois montrer maintenant que si 13|(5a+8b), alors 13|(8a+5b).
C'est grosso modo la même idée...
Cela me donne
5b+8a
=13a+13b-(8b+5a)
=13(a+b)-(8b+5a)
et =13a+13b-8b-5a
=8a+5b
=5b+8a
Par hypothèse, 13 divise (8b+5a)
De plus, 13 divise 13(a+b)
donc 13 divise 13(a+b)-(8b+5a)
effectivement je voulais d'abord être sûr de ça
Au départ je voulais utiliser une relation entre un diviseur a et des valeurs b et c mais je crois que ce n'est pas pertinent ici, donc je pensais dire que nous avons montrer que 13 divise à la fois 13(a+b)-(8a+5b) et 13(a+b)-(8b+5a), donc 13 | (8a+5b) équivaut à 13 | (5a+8b).
C'est bien ça ?
Citation :
13 divise à la fois 13(a+b)-(8a+5b) et 13(a+b)-(8b+5a), donc 13 | (8a+5b) équivaut à 13 | (5a+8b).
13 divise à la fois 13(a+b)-(8a+5b) et 13(a+b)-(8b+5a), donc 13 | (8a+5b) équivaut à 13 | (5a+8b).
Je trouve que c'est loin d'être évident écrit comme ça.
Il faut vraiment que tu reprennes tout le fil de la discussion, que tu rédiges toi même les démonstrations et que tu t'efforces de comprendre toutes les étapes du raisonnement. Il n'y a que comme ça que tu vas progresser.
Re bonjour,
j'ai re fait l'exercice avec une autre technique, je verrai ce que ça donne
merci pour votre aide 