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Rentrée difficile
Bonjour, je n'ai pas trop posé d'énigmes ces derniers temps mais pour la rentrée, c'est l'occasion. En effet, il va falloir que le professeur de maths apprenne le nom de ses élèves.
Pour s'y aider, il leur demande d'écrire leur nom sur un bout de papier et de le poser devant eux mais les élèves sont joueurs.
Chacun d'entre eux va échanger le bout de papier qu'il tient dans les mains avec ses camarades provoquant ainsi
échanges.
Le professeur est content s'il trouve un ordre des échanges de sorte que chaque élève retrouve son nom à la fin.
Les élèves sont contents s'ils trouvent un ordre des échanges de sorte qu'aucun élève ne retrouve son nom à la fin.
Pour quelles valeurs de n, les élèves seront contents ? le professeur sera content ?
Si vous n'êtes plus ni élève, ni professeur, choisissez votre camp et aidez les uns ou les autres à atteindre leur objectif.
Je vous invite à commencer par les petites valeurs de
Amusez-vous bien.
Bonsoir,
Si je comprends bien, tu demandes s'il y a un produit des n(n-1)/2 transpositions qui soit l'identité, et un produit qui soit un dérangement ?
Déjà, si n(n-1)/2 est impair, ça va être difficile d'obtenir l'identité.
Tu as tout compris et je présume que tu raisonnes en terme de signature, ce qui ne m'étonne pas vraiment de ta part 
Essaye peut-être de te mettre du coté des élèves alors.
Sinon tout n'est pas perdu pour le professeur dans les autre cas.
Avec 2 élèves, facile d'obtenir un dérangement, impossible d'obtenir l'identité.
Avec 3 élèves, on ne peut obtenir ni un dérangement, ni l"identité.
C'est bien parti, essayons peut-être de trouver une stratégie pour 4 et 5 élèves, ensuite avec un peu d'inspiration pour généraliser ou pour faire une récurrence, on devrait pouvoir solutionner ce problème. Bon courage !
Trouver un dérangement pour n pair n'est pas très difficile : la composition des transpositions dans l'ordre lexicographique donne le renversement (ça se voit bien en pensant à des tresses), et le reversement n'a pas de point fixe si n est pair, un point fixe si n est impair.
Pour n=2p+1 impair, on perturbe un peu l'ordre des transposittions, pourvu que p > 1.
Au lieu d'avoir toutes les transpositions (p,p+1),...,(p,2p) (je numérote de 0 à 2p), on laisse de côté la dernière et on ne la mets qu'après les transpositions (p+1, p+2),..., (p+1,2p) de façon à avoir
...(p-1,2p),(p,p+1),...,(p,2p-1) ,(p+1, p+2),..., (p+1,2p) , (p,2p),(p+2,p+3),...
La permutation obtenue en composant n'est plus le renversement, mais le renversement perturbé au milieu de la façon suivante :
[2p,2p-1,...,,p+1,p-2,p,p-1, p-3,...,0]
qui est bien un dérangement.
Jolie inspiration pour avoir trouvé une manière de faire sans récurrence. Un petit détail près qui me perturbe, je comprends de ce que tu veux faire :
[0,...,p-1,p,p+1,p+2,p+3,...,2p-1,2p]
[p,p+1,p+2,p+3,...,2p-1,2p,p-1,...,0]
[p+1,p+2,p+3,...,2p-1,p,2p,p-1,...,0]
[p+2,p+3,...,2p-1,p+1,p,2p,p-1,...,0]
[p+2,p+3,...,2p-1,2p,p,p+1,p-1,...,0]
[p+2,p+3,...,2p-1,p,2p,p+1,p-1,...,0]
[p+3,...,2p-1,p+2,p,2p,p+1,p-1,...,0]
[p+3,...,2p-1,2p,p,p+2,p+1,p-1,...,0]
[2p,2p-1,...,p+3,p,p+2,p+1,p-1,...,0]
Donc je ne trouve pas comme toi mais comme c'est aussi un dérangement, ce n'est pas bien grave et j'ai peut-être mal compris.
Il reste à s'intéresser à l'identité peut-être en commençant par le cas n multiple de 4 si tu veux trouver sans récurrence aussi. 
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