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Repère, contradiction ?

Posté par
Esyy 13-02-19 à 17:05

Bonjour,

J'ai un problème de compréhension sur les repères orthogonaux
Avec un certain repère gradué, j'arrive à une contradiction de raisonnement (voir l'image)

Sur l'axe des abscisses, deux carreaux valent une unité, tandis que sur l'axe des ordonnés, un carreau vaut une unité. Mais si je regarde mes vecteurs i et j (et c'est là que je dois faire un mauvais raisonnement), ils sont de norme 1  
Donc s'ils ont la même norme, on serait dans un repère orthonormée, mais ça n'a aucun sens ?
Puisque deux vecteurs de même norme ont même longueur, on voit bien que si on ramène ça à une même échelle, les deux vecteurs ne font pas la même longueur.. que des contresens. Ou bien tout simplement le repère que j'ai dessiné n'a pas de sens, et il faut juste enlever les graduations pour redonner du sens à tout ça

Merci d'avance

Repère, contradiction ?

Posté par
carpediemre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:34

salut

ben justement ton repère n'est pas orthonormé mais orthogonal seulement ...

un repère est normé lorsque les vecteurs ont même longueur (que tu la mesures en cm ou en année-lumière )

et alors tu peux considérer que leur norme est 1 ou 2 ou ...

Posté par
caritare : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:36

bonjour

repère orthonormé : les vecteurs et ont même norme, égale à 1.

si \vec{i} = \vec{OA}   et  \vec{i} = \vec{OB} , alors A et B sont équidistants de O

sauf erreur de ma part,
on ne peut parler de norme d'un vecteur que si le plan est muni d'un repère orthonormé.

ainsi, dans le cas de ton dessin, le repère est orthogonal.
(axes perpendiculaires, mais OA OB)

Posté par
caritare : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:39

bonjour Carpediem,

"et alors tu peux considérer que leur norme est 1 ou 2 ou ."
ok donc j'avais dit une bêtise. :/

Posté par
caritare : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:41

* erreur de saisie, lire vecteur j
si \vec{i} = \vec{OA}   et  \vec{j} = \vec{OB} , alors A et B sont équidistants de O

Posté par
Esyyre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:52

Merci à vous !
Je pensais qu'on pouvait parler de norme dans un repère orthogonal, et du coup ça menait à un contresens (en lisant le graphique on pourrait se dire que la norme de i et j vaut 1 mais ils n'ont pas la même longueur donc pas de sens)
Par contre relativement à un repère orthonormée sous jacent (1 carreau = 1 unité par exemple), on pourrait dire que la norme de i vaut 2 et celle de j vaut 1

Posté par
larrechre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:53

Bonjour,

J'étais également persuadé que orthonormé impliquait orthogonaux deux à deux  et de norme égale à 1 pour les vecteurs de base.

Mais rien n'empêche de prendre comme unité.

Posté par
carpediemre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:54

bonjour carita

carita @ 13-02-2019 à 17:39

bonjour Carpediem,

"et alors tu peux considérer que leur norme est 1 ou 2 ou ."
ok donc j'avais dit une bêtise. :/
ce qu'il faut bien comprendre c'est la distinction entre la norme d'un vecteur et sa longueur

pour parler de longueur il faut donc une unité de mesure

la longueur des vecteurs i et j peut faire ce qu'on veut ...

mais dire que le repère est orthonormé c'est dire que ||i|| = ||j|| = 1

ou encore : non seulement les vecteurs i et j ont même longueur quand on les mesure mais en plus on décide que cette longueur vaut 1

(c'est pourquoi j'ia dit une petite bêtise)

ensuite dans un pb concret on peut très bien décider que l'unité représente 100 m ...

Posté par
malou Webmasterre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:57

non non carita, tu n'as pas dit de bêtises à mon avis
norme --> c'est dans un repère orthonormé

Posté par
caritare : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:58

ah merci de notre réponse Carpediem, je comprends mieux.
ça me tournait en boucle cette histoire de norme différente de 1

Posté par
larrechre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 17:59

Donc, je reste persuadé...

Posté par
caritare : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:00

merci Malou !
donc elle débloque pas trop, la vieille

Posté par
malou Webmasterre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:01

Posté par
Esyyre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:05

Du coup on est d'accord que parler de distance dans un repère orthogonal n'a aucun sens ? (si on se ramène pas à un repère orthonormé sous jacent et préexistant)
Vu que la distance représenté par "1" sur l'axe des abscisses n'est pas la même que la distance représenté par 1 le long de l'axe des ordonnées ?

Posté par
carpediemre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:06

c'est le chat qui se mord la queue !!!

pour parler de norme il faut un repère orthonormé ... sauf que dans orthonormé il y a normé !!!

ce mot doit donc être défini sans parler de norme !!! mais de longueur !!!

et pour parler de longueur il faut une unité de mesure !!! (le cm comme l'année-lumière)


et c'est seulement si les vecteurs ont même mesure qu'on peut dire que le repère est normé ...

et on décide de poser ||i|| = ||j|| = 1 ... parce que c'est le plus simple !!! mais on peut très bien choisir que ça vaut 2 ... mais c'est chiant de se trainer un facteur 2 pour les longueurs, 4 pour les aires ...

et ces deux vecteurs peuvent très bien être normés sans être orthogonaux !!! parce qu'il existe toujours un repère orthonormé

Posté par
malou Webmasterre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:10

je crois qu'on définit surtout la norme après avoir défini un produit scalaire...
mais que tout ça est loin...

Posté par
Esyyre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:10

Carpediem, tu répondais à mon message ou bien à celui des autres ?
Je doute que tu aies pu me répondre en 1 minute d'intervalle par rapport à mon message de 18h05

Posté par
malou Webmasterre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:12

oui, distance que dans un repère orthonormé

Posté par
carpediemre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:13

Esyy @ 13-02-2019 à 18:05

Du coup on est d'accord que parler de distance dans un repère orthogonal n'a aucun sens ? (si on se ramène pas à un repère orthonormé sous jacent et préexistant)
Vu que la distance représenté par "1" sur l'axe des abscisses n'est pas la même que la distance représenté par 1 le long de l'axe des ordonnées ?

si on peut !!! et c'est pourquoi on peut ne pas choisir 1

ainsi dans ton repère la distance du point A(x, y) au point B(u, v) est AB = \sqrt {4(u - x)^2 + (v - y)^2}

et la distance du point P(1, 1) à l'origine est OP = \sqrt {4(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt 5

et c'est la même que la distance du point Q(1/2, 2) à l'origine

OQ = \sqrt {4(1/2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt 5

Posté par
Esyyre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:25

Donc tu reviens ce que j'ai dis carpediem
Puisque tu as utilisé la norme, avec le facteur 4 sur la différence des abscisses, c'est que tu as considéré un repère orthonormé sous jacent !
Donc sans ça, sans considérer un repère orthonormé sous jacent, la distance n'a aucun sens dans un repère orthogonal

Posté par
carpediemre : Repère, contradiction ? 13-02-19 à 18:43

absolument pas !!!

j'utilise simplement le fait que la longueur du vecteur i est le double de celle du vecteur j ... quand je les mesure ... en cm ou en année-lumière ...


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