Bonjour,
Je suis bloqué sur l'exercice suivant de théorie des groupes (et représentations) :
On considère G un groupe fini agissant sur un ensemble X fini avec
#X ≥ 3. On pose χ(g) = #{x ∈ X : gx = x}

d. On admet que par 2-transitivité que pour tout x, G agit transitivement sur (Stab_G(x), X \ {x}).
Pour x ∈ X, déterminer l'espace {v ∈ V : (∀g ∈ Stab_G(x))(g · v = v)}.
e. Cette question emploie : une représentation est irréductible ssi la norme de son caractère est 1. Soit ϕ la
forme linéaire ϕ(∑ λ_xe_x) = ∑ λ_x. Montrer que ker ϕ est une représentation irréductible de G.

(Les 3 premières questions que j'ai pu faire sans trop de souci consistaient à montrer la formule de Burnside, puis en déduire que si l'action de G sur X est doublement transitive on a l'égalité (1/#G)_{g G} (χ(g) - 1)² = 1, et enfin que la représentation régulière, qui est que, je suppose, on considère pour les deux dernières questions, admet une unique droite invariante. )

Pour la d) je ne vois pas du tout ce qu'est cet espace pour un groupe quelconque agissant 2-transitivement, je vois simplement pas le rapport entre une action quelconque comme ça et les sous-représentations de la régulière.
Pour la e), ce que je ne saisis pas c'est pourquoi cette sous-représentation serait irréductible. Le noyau d'une forme linéaire étant un hyperplan, Kerϕ serait une représentation irréductible de degré #G - 1, or le degré d'une représentation divise #G donc c'est impossible qu'elle soit irréductible ? Je ne comprends pas où est mon erreur dans ce raisonnement ni comment utiliser le reste de l'exercice pour démontrer l'assertion. Merci d'avance pour toute aide.