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Résolution d'équation intégro-différentielle

Posté par
lol37 13-07-10 à 06:26

Salut à tous,
Comment résoudre une équation du type :
$\Huge a\times\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+b\times x(t) + c\times\int_{a}^{t}x(y) \mathrm{d}y = f(t)$ ?
Merci d'avance
lol37.

Posté par re : Résolution d'équation intégro-différentielle 13-07-10 à 06:41

Si tu la dérives, tu obtiens : a x" + b x' + c x = f'(t) et tu as des règles pour ce type d'équation
ensuite, puisque tu as la forme générale d'une solution x(t) de a x" + b x' + c x = f'(t), tu remplaces x(t) dans l'équation initiale et tu ajustes les constantes

Posté par re : Résolution d'équation intégro-différentielle 13-07-10 à 06:43

Merci de la réponse rapide Cherchell ^^
Qu'appelles tu "ajuster les constantes" ?

Posté par re : Résolution d'équation intégro-différentielle 13-07-10 à 07:21

Tu vas obtenir pour l'équation différentielle intermédiaire des solutions avec 2 constantes d'intégration. Il se peut (je n'ai pas cherché) qu'en remplaçant dans l'équation initiale, tu trouves une condition sur ces constantes.

Posté par re : Résolution d'équation intégro-différentielle 13-07-10 à 07:28

Par exemple avec l'équation suivante :
$\Huge \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x(t)+\int_{1}^{t}x(y)\mathrm{d}y=1$ avec $\Huge x(0)=1$
en dérivant on a : $\Huge \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x(t)=0$
Solutions : $\Huge e^{-\frac{t}{2}}\left(k \sin{\frac{\sqrt{3}t}{2}}+\cos{\frac{\sqrt{3}t}{2}}\right)$
Après il faut déterminer k...
$\Large e^{-\frac{t}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k\cos{\frac{\sqrt{3}t}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)-\frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2}\left(k \sin{\frac{\sqrt{3}t}{2}}+\cos{\frac{\sqrt{3}t}{2}}\right)+e^{-\frac{t}{2}}\left(k \sin{\frac{\sqrt{3}t}{2}}+\cos{\frac{\sqrt{3}t}{2}}\right)+\int_{1}^{t}e^{-\frac{y}{2}}\left(k \sin{\frac{\sqrt{3}y}{2}}+\cos{\frac{\sqrt{3}y}{2}}\right)\mathrm{d}y=1$
Ca devient barbant...