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Résolution d une intégrale.

Posté par
1 Schumi 1
26-06-05 à 08:44

Bonjour,

J'ai un petit problème pour résoudre cette intégrale. Si quelqu'un pouvait m'aider, cela serait aimable de sa part.

5$\int_0^{100} \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-1}{2}(\frac{x-50}{5})^2

Mais avant cela j'ai quelque petite question:
Est qui faut la résoudre en faisant une IPP?
(Personnellemnt, je ne pense pas, mais dites le moi, si cela est nécessaire).
Ah, oui, au fait, j'allais oublier, le résultat m'importe peu, puisque je le connais déja.I = 1
Ce que je voudrais, serait une explication bien détaillé de ce que vous faites.


Merci d'avance.

Ayoub.

Posté par philoux (invité)re : Résolution d une intégrale. 26-06-05 à 09:18

ayoub,

Tu as déjà posé cette question et J-P et moi y ont déjà répondu
un changement de variable u=(x-5)/50 te ramène à l'intégrale de l'autre jour.

Attention tu as oublié dx

Ca introduit la fonction erf que tu ne connais pas.

Philoux

Posté par
1 Schumi 1
re : Résolution d une intégrale. 26-06-05 à 09:26

Oui, c bien ca mon prob, ta fonction erf.

Elle me pose un sacré prob.
En fait, tu ne saurais philoux, si on peut tracé cette fonction sur une calculette pas trtès sofistiqué telle qu'une TI 82.
DE plus, j'ai essayé, mais je bloque dessus.
C là que je voudrais que tu m'aides.

Posté par
1 Schumi 1
re : Résolution d une intégrale. 26-06-05 à 09:29

NOn, c bon, j'ai rien écrit.
Merci Philoux.

Posté par
1 Schumi 1
re : Résolution d une intégrale. 26-06-05 à 14:27

Toujours personne pour m'aider???
Snifff, Snifff

Posté par
otto
re : Résolution d une intégrale. 26-06-05 à 14:35

La valeur n'est pas exactement 1.
Tu peux l'exprimer sans trop de problème si tu appelles F la primitive s'annulant en 0 de
f:=x->exp(-x²)

Si tu ne veux qu'un résultat approché, tu peux développer ta fonction en série, tu auras très vite un résultat très proche de la valeur souhaitée...
A+

Posté par
lyonnais
re : Résolution d une intégrale. 26-06-05 à 14:38

salut 1 Schumi 1 :

si tu souhaites une valeur approchée je trouve :

0,9999999982

@+

Posté par
1 Schumi 1
re : Résolution d une intégrale. 28-06-05 à 18:53

Merci les gars, c sympa.
Mais j'ai abandonnée, j'en ai raz la casuqtte.
C trop dur, j'abandonne, pour celle là, je passe à une autre.

Posté par
otto
re : Résolution d une intégrale. 28-06-05 à 18:57

Oui mais tu n'aurais jamais trouvé la valeur exacte autrement qu'en posant F telle que F'(x)=exp(-x²) et F(0)=0 de toute manière.
Ce qui limite très fortement l'intéret
Cependant ca se fait bien par ipp et par le changement de variable (x-50)/(5(2))=t
A+

Posté par
lyonnais
re : Résolution d une intégrale. 28-06-05 à 21:28

>> otto ou quelqu'un d'autre, j'ai une demande :

serait-il possible de nous faire la démo pour trouver le résultat en utilisant l'IPP et le changement de variable.

J'en demande peut-être trop, mais comme je ne l'ai jamais fait, j'aimerais bien voir la méthode. Je remet l'intégrale :

6$\int_0^{100} \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-1}{2}(\frac{x-50}{5})^2

merci d'avance ...

Posté par
otto
re : Résolution d une intégrale. 28-06-05 à 21:43

Ne fait pas le changement de variable que je préconise, je divise par racine de 2 alors qu'il faut multiplier:
racine de 2 *(x-50)/5=t
ainsi
x=5t*racine(2)/2+50
exp(-1/2((x-50)/5)²)=exp(-t²)
dx=5racine(2)dt/2

pour x=0 t=-10racine(2)
pour x=100 t=10racine(2)
ainsi ton intégrale devient
1/(5racine(2pi))5racine(2)/2exp(-t²) sur [-10racine(2),10racine(2)]
=
1/(racine(pi))exp(-t²)/2 sur [-10racine(2),10racine(2)]
Par parité on trouve que ca vaut
1/(racine(pi))exp(-t²) sur [0,10racine(2)]
=
F(10racine(2))/racine(Pi)

Finalement pas besoin d'IPP.
Cependant, avec une vérif Maple, il y'a un facteur 2 qui manque et je ne sais pourquoi. On doit trouver le double de ce que je trouve, mais l'idée est là.
A+

Posté par Suicune (invité)re 28-06-05 à 22:39

coucou tout le monde! Je voulais savoir que signifie la fonction erf? est ce que qq'un peu me répondre? Merci! Suicune

Posté par
otto
re : Résolution d une intégrale. 28-06-05 à 22:42

Salut,
erf est définie sur C par
erf'(x)=2exp(-x²)/
erf(0)=0

Posté par
lyonnais
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 09:52

merci beaucoup otto   

Par contre je comprend pas trop le passage de l'avant dernière à la dernière ligne

je retappe en latex pour que l'on voit mieux :

5$ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\time \int_0^{10\sqrt{2}} e^{-t^2} dt
=
5$ \frac{F(10\sqrt{2})}{\sqrt{\pi}}

sinon, je suis d'accord, on trouve ici un résultat 2 fois plus faible que le résultat attendu (  0,499996  contre  0,999992 ). D'où peut venir l'erreur ?

merci de répondre à toutes ces questions ...

Posté par
otto
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 10:17

Bonjour,
F je l'ai définie comme primitive de t->exp(-t²) qui s'annule en 0.
A+

Posté par
lyonnais
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 10:20

ok merci beaucoup otto , la je comprend mieux



par contre, tu ne sais pas d'où peut provenir le résultat deux fois plus faible ?

encore merci !

Posté par philoux (invité)re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 10:26

Salut Lyonnais

En fait, otto s'interrogeait sur le facteur 2 :

à 21:43 il a écrit :

Intégrale = 1/(racine(pi)exp(-t²)dt sur [0,10racine(2)]

or ERF(z)= [ 2/racine(pi) ]exp(-t²)dt sur [0,z] (il manquait le 2 dans la définition de ERF

donc

Intégrale = (1/2)ERF(10racine(2)) = 1.000000000003

Philoux

Posté par
otto
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 10:38

Salut philoux, je ne définis pas erf, je définissais une autre fonction (à un facteur 2pi près), donc l'erreur ne provient probablement pas de là.
Enfin ce n'est pas très important.
A+

Posté par
lyonnais
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 10:43

salut philoux et merci pour ta réponse

cependant, je ne crois pas qu'otto ai ici définie la fonction erf.
L'erreur doit donc être ailleurs ...

Enfin, merci quand même de m'aider à comprendre !

PS : j'adore sine qua non ...

@+

Posté par
lyonnais
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 10:43

oups, otto à été le plus rapide

Posté par
Fractal
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 11:00

Salut à tous, je pense que l'erreur vient du fait qu'il fallait bien diviser par racine de 2 pour le changement de variable :
t=\frac{x-50}{5\sqrt{2}}
x=5t\sqrt{2}+50
e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-50}{5})^2}=e^{-t^2}
Et après on continue comme a fait otto mais avec t deux fois plus grand.

Posté par philoux (invité)re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 11:33

Re-

Si j'ai bien compris, l'utilisation de la fonction dite F est indiquée pour ne pas utiliser la fonction ERF ?

Le 26/06/2005 à 14:35, otto indiquait :

...Tu peux l'exprimer sans trop de problème si tu appelles F la primitive s'annulant en 0 de
f:=x->exp(-x²)
...


Or cette définition est celle de ERF à une constante multiplicative près, selon :
ERF(x)= [ 2/racine(pi) ] exp(-t²)dt sur [0,x]

D'où la résolution confirmant le changement de variable indiqué par Fractal : image jointe.

Philoux; (qui a l'impression qu'on dit tous à peu près la même chose sur l'origine de cette erreur de 2)


Résolution d une intégrale.

Posté par
otto
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 11:40

La constante 2/racine(pi) tombe un peu du ciel cependant, c'est pour celà que je n'ai pas voulu l'introduire.
De même, pour ce que l'on fait, elle ne sert à rien.

Le fait que erf et ma fonction F soient définis à cette constante près, est que erf devient une fonction de densité qui est de masse totale 1. C'est à dire que sont intégrale sur R+ tout entier est 1.
Notamment, cette fonction est très très utilisée en probas et en stats. Notamment, si mes souvenirs sont bons, c'est une loi continue qui permet de très bien modéliser les lois binômiales pour des grands nombres (mais je peux dire des bétises).
A+

Posté par
1 Schumi 1
re : Résolution d une intégrale. 29-06-05 à 13:11

MERCI LES GARS, VOUS ETES LES MEILLEURES. C TROP COOL CE QUE VOUS AVEZ FAIT.
J'espérait plus que vous alliez faire toutes la démonstration. En fait, j'arrivais pas bien à saisir la fonction erreur.
Mais, maintenant, c bon.

9$ \green MERCI !!!



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