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en dérivant (P/P') on trouve 1-P"P'/(P')²

donc le problème revient à montrer que (P/P')' 1/n

et si P=(X-a_i)
(les a_i étant pas forcément distincts, mais il y en a n...et on peut supposer P normalisé)
alors P/P'=1/(1/(X-a_i) )

ensuite je dérive cela... mais n'arrive pas à montrer que c'est 1/n

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C'est une des façons de procéder, pense à Cauchy-Schwartz maintenant.

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Pour le cas d'égalité, j'ai envie de réponse qu'il est vérifié si deg(P) < 3 mais sans démonstration pour le moment..

J'y ai réfléchis cette aprem, et l'égalité deg (P*P") = deg (P'*P') me donne envie d'utiliser C-S, ça me rappel un exercice où on suppose que et il faut trouver les fonctions solutions. J'aimerais caler un raisonnement analogue ici.

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Pour le cas d'égalité ce n'est pas ça du tout.

Par contre effectivement une méthode consiste à appliquer C-S à un moment donné.

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Notons ; de on déduit en dérivant: .
L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne alors d'où .
Il y a égalité dans Cauchy-Schwarz si et seulement si les deux vecteurs sont liés, c'est-à-dire si est indépendant de k , autrement dit si P a une unique racine d'ordre n.

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C'est exactement ça

J'avais une autre méthode, plus compliquée où je calculais la différence qui en posant s'avère être une forme quadratique dont on montre que la matrice est positive. Mais ça nécessite des outils de spé qui ne sont effectivement pas nécessaires pour résoudre l'exercice.

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je viens de trouver (un mix des méthodes de jandri et infophile en fait):

je ne mets pas d'indice dns les sommes (qui vont de 1 à n) car il n'y a pas ambiguité: le terme a parcourt toutes les racines de P

en posant P=(x-a) alors P'=P1/(x-a) puis P''=P'1/(x-a)-P1/(x-a)²

on calcule alors (n-1)P'²-nPP"=...=P²[n1/(x-a)²-{1/(x-a)}²]


or (x²)=((1.x))²1² * x²=nx²

donc la différence est positive et l'inégalité est démontrée

pour l'égalité on déduit d'après l'inégalité précedente que les n racines sont confondues...

je ne trouve pas que ce soit guère plus compliqué que de passer par le (u/v)'
j'avais vu mais je savais pas quoi en faire

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pardon c'est (x)²....

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il me semble qu'il faut aussi préciser que l'inégalité est encore vérifiée si x est égal à l'un quelconque des zéros a_k du polynôme ,c'est trivial mais il me semble qu'il faut le dire

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OK

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C'est valable pour tout x dans l'énoncé oui.

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J'ai laissé tombé, j'ai regardé les réponses, que je ne comprends pas d'ailleurs ... je n'ai pas non plus fait le cours sur les polynômes

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Consulte le post de jandri, la seule chose qui figure dans le cours sur les polynômes c'est la formule donnant P'/P, mais ça c'est immédiat si tu dérives ton polynôme scindé. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

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C'est vrai que ça se comprend plutôt bien en fait ^^ je n'avais pas réfléchis à la formule de P'/P ..
En tout cas j'aurais pas trouvé, l'idée ne me serait pas venu je pense.

Merci pour l'exercice

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De rien

J'ai proposé cet exo car il est abordable pour un exo d'ENS, en général ils sont plus corsés, du moins d'habitude je n'arrive pas à les traiter entièrement.

Aujourd'hui j'ai fait un oral blanc de physique, je suis tombé sur l'étude d'un grille pain c'était marrant ^^

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Ils sont impressionnant ceux qui y arrivent ..

On a souvent des exo du genre en colle quand on passe avec notre prof ^^, tu as déjà eus tes résultats en fait ?

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Non, premiers résultats le 7 juin et les ENS le 16.

J'espère que ça ne sera pas trop mauvais

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Ok, On croise les doigts _{(au fait, la dernière planche que tu as posté (exercice I) ne se fait pas en sup non ?)}

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Non celle de l'X n'est pas abordable en sup, j'penserai à toi pour la prochaine

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C'est gentil, merci !