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Sans calculs

Posté par
alainpaul 03-08-16 à 10:50

Bonjour,

Comment démontrer,sans calculs, les égalités suivantes:

4^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}

(3 \sqrt{3})^{\frac{1}{3\sqrt{3}}}=( \sqrt{3})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}

(9^{\frac{9}{8}})^{9^{\frac{9}{8}}}=(9^{\frac{1}{8}})^{9^{\frac{1}{8}}}


Pourriez-vous construire de telles égalités?

Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Sans calculs 03-08-16 à 11:39

Joli
Peux-tu préciser ce que veut dire " sans calculs " ?

Posté par
alainpaulre : Sans calculs 03-08-16 à 11:53

Bonjour,

Sans utiliser une calculette établir chacune  des égalités ,en construire d'autres.

Il y a une erreur de frappe dans la troisième ,les exposants sont inverses.

Alain

Posté par
WilliamM007re : Sans calculs 03-08-16 à 11:59

Bonjour,

Il suffit d'écrire quelque chose du genre

 Cliquez pour afficher

Posté par
alainpaulre : Sans calculs 03-08-16 à 12:26

Bon,

La première égalité  sert d'appât et représente  clairement 'la forme générale'   :  f^{\frac{1}{f}}=x^{\frac{1}{x}}   suivie.

Quelle  autre égalité proposes- tu?


Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Sans calculs 03-08-16 à 13:59

 Cliquez pour afficher

Je cherche la dernière...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Sans calculs 03-08-16 à 14:05

 Cliquez pour afficher

Je vais essayer d'en trouver d'autres...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Sans calculs 03-08-16 à 14:17

Voici une forme générale

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Sans calculs 03-08-16 à 15:21

Une autre manière d'écrire (9^{\frac{9}{8}})^{\frac{1}{9^{\frac{9}{8}}}} = (9^{\frac{1}{8}})^{\frac{1}{9^{\frac{1}{8}}}} : (9 \sqrt{\sqrt{3}})^{\frac{1}{9\sqrt{\sqrt{3}}}} = ( \sqrt{\sqrt{3}})^{\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}}}

Aucune des deux écritures n'est très agréable à lire (encore moins à écrire...).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Sans calculs 03-08-16 à 15:28

Un autre numérique avec que du 5 :

 Cliquez pour afficher

Posté par
alainpaulre : Sans calculs 03-08-16 à 18:28

Bonsoir,


Je ne vois pas comment tu as écrit  ta dernière égalité.

L'équation  x,f >0,    f^{\frac{1}{f}}=x^{\frac{1}{x}}   correspond à  f^x=x^f

Peux-tu détailler.

Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Sans calculs 03-08-16 à 18:47

Bonsoir,
Je suppose que tu parles de l'égalité avec que du 5.
J'ai utilisé mes formules de 14h17 avec x = 5 .

 Cliquez pour afficher

Posté par
alainpaulre : Sans calculs 03-08-16 à 19:09

Bon,

Je cherchais d'autres solutions à l'équation x,f >0 , x^f=f^x
que la voie paramétrique t >0 , t \neq 1 , x=t^{\frac{1}{t-1}} ,f =t^{\frac{t}{t-1}}

Ta proposition m'y ramène.

Alain

Posté par
Razesre : Sans calculs 04-08-16 à 01:29

x^{\frac{1}{x}}=({x^{\alpha \times \frac{1}{\alpha }}})^{\frac{1}{x}}=\left (x^\alpha \right )^{\frac{^1}{\alpha x}}

Posté par
alainpaulre : Sans calculs 04-08-16 à 10:41

Oui,

A part le cas connu x^{\alpha}=\alpha x cela ne  nous permet pas d'apporter une solution à l'équation f^{\frac{1}{f}}=x^{\frac{1}{x}}


Alain

Posté par
Razesre : Sans calculs 04-08-16 à 11:16

OUI, ça c'est Lambert


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