Cliquez pour afficher

Le nombre de droite est en fait formé d'un 'empilement' de la série entière au départ dont on retire à chaque fois un élément, en commençant par les premiers.
Le premier élément ne s'y retrouve qu'une fois, le deuxième deux fois, etc; ce qui se traduit dans le nombre de gauche par 1*a₁ + 2*a₂ + 3*a₃ + ...
Les deux sommes sont égales parce qu'elles sont synonymes !
Cette observation est indépendant du fait que les termes sont positif ou non; je pense toutefois qu'ils doivent être réels.

 Cliquez pour afficher

Soit U_n=a_1+2a_2+...na_n  et V_n=R_0+...+R_n les sommes partielles de rang n des deux séries qui nous intéressent.
En remplaçant dans la deuxième R_0 par a_1+a_2+..+a_n+R_n, R_1 par a_2+..+a_n+R_n etc, on voit que V_n=U_n+(n+1)R_n.
Si la suite V_n des sommes partielles de la série de t.g. R_n est majorée, la suite U_n des sommes partielles de na_n l'est aussi.
La convergence de R_n implique donc celle de na_n.
Réciproquement, si na_n converge, son reste au rang n tend vers 0.
Or ce reste est (n+1)a_(n+1)+(n+2)a_(n+2)+... Il est plus grand que
(n+1)a_(n+1)+(n+1)a_(n+2)+.. = (n+1)R_n, qui tend donc aussi vers 0. Donc la suite V_n converge, et vers la même limite que la suite U_n.

D'où la réponse à la question 1.

 Cliquez pour afficher

rogerd >> c'est très bien !

sauf que tu as oublié de montrer lorsque converge que pour que et aient la même limite finie .



plumemeteore >> ton argument est faux si n'est pas de signe constant :

par exemple pour la série converge alors que diverge _{sauf erreur bien entendu}

 Cliquez pour afficher

Il me semble que j'ai tout mis:

D'abord: une des deus séries CV ssi l'autre converge. (On est d'accord là-dessus?)
Pour prouver ensuite qu'en cas de CV les deux sommes sont les mêmes, je peux donc me placer dans l'hypothèse où c'est na_n qui converge. Dans ce cas , je montre que (n+1)R_n est plus petit que le reste au rang n de na_n et tend donc comme lui vers 0. (Il s'agit de deux suites à termes positifs).

En fait j'ai traité les deux points en même temps et ce n'est peut-être pas très clair.

D'accord?

 Cliquez pour afficher

Désolé ! à première lecture je n'avais pas très bien assimilé ton raisonnement qui est parfaitement correct pour la question