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Similitudes

Posté par
zartos
19-01-17 à 00:45

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide sur les deux dernières questions, voici l'énoncé :

ABC est un triangle rectangle direct en B tel que BA = 2 BC. On note H le projeté orthogonal de B sur (AC) et K = S_{(BC)} (H)

Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C

1) a) Déterminer l'angle et le rapport de f.

   b) Montrer que f(H) = H

2) Soit g la similitude indirecte qui envoie A sur B et B sur C.

   a) Montrer que g admet un unique point invariant O.

  b) Montrer que O appartient à (AC).

3) a) Caractériser l'application g o f^{-1}.

   b) En déduire que g(H) = K

   c) Montrer que O appartient à (BK). Construire O.

4) Soit I le barycentre de (A,1) et (B,2).

   a) Montrer que l'axe de g est (OI)

   b) Montrer que g(I) est l'intersection des droites (BC) et (OI).


Similitudes

Posté par
lake
re : Similitudes 19-01-17 à 07:00

Bonjour,

4)a) g est la composée commutative de l' homothétie de centre O, de rapport \dfrac{1}{2} et de la symétrie axiale d' axe l' axe cherché ( il passe par O)

  g=S\circ h

  Les droites (OA) et (OB) sont donc symétriques par rapport à cet axe.

Autrement dit, l' axe est la bissectrice intérieure de \widehat{AOB} et si on appelle I son point d' intersection avec [AB]:
 \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{1}{2}

Ce qui donne bien le résultat demandé.

4)b) La droite (AB) est transformée en la droite (BC) et la droite (OI) est globalement invariante par g...

Posté par
lake
re : Similitudes 19-01-17 à 07:17

Je passerai sur ton autre topic plus tard si personne n' est intervenu...

Posté par
lake
re : Similitudes 19-01-17 à 11:31

Une erreur:

 \dfrac{IB}{IA}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}

Posté par
zartos
re : Similitudes 19-01-17 à 22:47

lake @ 19-01-2017 à 11:31


 \dfrac{IB}{IA}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}


Pour écrire çà il faut déjà qu'on ait que (OI) est la bissectrice interne de \widehat{AOB} et c'est ce qu'on veut démontrer non?

Posté par
lake
re : Similitudes 19-01-17 à 23:06

Citation :
4)a) g est la composée commutative de l' homothétie de centre O, de rapport \dfrac{1}{2} et de la symétrie axiale d' axe l' axe cherché ( il passe par O)

  g=S\circ h

  Les droites (OA) et (OB) sont donc symétriques par rapport à cet axe.

Autrement dit, l' axe est la bissectrice intérieure de \widehat{AOB} et si on appelle I son point d' intersection avec [AB]:

 \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{1}{2}



La dernière égalité est bien une conséquence du fait que l' axe (OI) est la bissectrice de \widehat{AOB} non ?

Posté par
zartos
re : Similitudes 19-01-17 à 23:19

Ahh d'accord, ça oui c'est une conséquence:

Citation :


 \dfrac{IB}{IA}=\dfrac{OB}{OA}



Mais le \dfrac{1}{2} ?

D'ailleurs  \dfrac{IB}{IA} c'est 1/3

Posté par
lake
re : Similitudes 19-01-17 à 23:26

Bon, j' ai cité mon erreur...

Voyons, g(A)=B et g est de vente O et de rapport \dfrac{1}{2}

Donc \dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}

Et je maintiens que \dfrac{IB}{IA}=\dfrac{1}{2}

Posté par
zartos
re : Similitudes 19-01-17 à 23:32

zartos @ 19-01-2017 à 23:19

D'ailleurs  \dfrac{IB}{IA} c'est 1/3


Oulala qu'est ce que je raconte...


Merci lake!

Posté par
lake
re : Similitudes 19-01-17 à 23:34

Posté par
zartos
re : Similitudes 19-01-17 à 23:40

Je ne sais pas si c'est correct mais je crois qu'il y a une autre méthode :

En appliquant la propriété des sinus sur les triangles AOB, AIO et BIO on devrait aboutir à \widehat{AOI} = \widehat{IOB}

Posté par
lake
re : Similitudes 19-01-17 à 23:56

Je crois que tu n' as pas saisi quelque chose:

Soit une similitude indirecte g de rapport différent de 1. g  a un point invariant: appelons le O et un axe qui passe par O

Soit A un point et son image g(A)

L' axe de g est la bissectrice de \widehat{AOg(A)}

Fait un dessin en utilisant g=S\circ hS est la symétrie axiale d' axe l' axe de g et h l' homothétie de centre O et de rapport le rapport positif de la similitude.

Posté par
lake
re : Similitudes 20-01-17 à 00:00

Et dans le cas qui nous occupe, on a  g de centre O et g(A )=B

Posté par
lake
re : Similitudes 20-01-17 à 00:23

Un dessin:

  Similitudes

Posté par
lake
re : Similitudes 20-01-17 à 00:39

On a même mieux:

Similitudes

Posté par
zartos
re : Similitudes 20-01-17 à 21:22

En fait, ce que tu as écrit en premier c'était plus simple.

lake @ 19-01-2017 à 07:00

tex] et si on appelle I son point d' intersection avec [AB]


En effet, ça aurait été plus clair si on a choisi une lettre autre que I ( K par exemple) le point d'intersection de [AB] avec la droite portant la bissectrice puis montrer que I=K en utilisant le rapport de la similitude. C'est ce qui a créé une confusion chez moi au début.

Posté par
lake
re : Similitudes 20-01-17 à 21:56

Ah, oui! Je vois ce que tu veux dire! Quand j' ai nommé le point d' intersection I, je ne pensais pas au I de l' énoncé; effectivement, j' aurais du l' appeler autrement; désolé !

Posté par
zartos
re : Similitudes 20-01-17 à 22:12

Mais non c'est rien lake. J'ai passé des nuits à penser à cette question, je t'en remercie encore!

Posté par
lake
re : Similitudes 20-01-17 à 22:39



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