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simplifications

Posté par
pppa 31-10-14 à 19:47

Bonjour

j'ai besoin de votre aide pour terminer cet exercice :

Soit ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle de rayon R. On pose : AB = a ; BC = b ; CD =c DA = d ; AC = x ;BD = y.

1/ Montrer que x² = a² + b² - 2ab cos B = c² + d² + 2cd cos B

2/ En déduire Cos B et x , puis Cos A et y, e démontrer les formules de Ptolémée :

xy = ac + bd et $\dfrac{x}{y} = \dfrac{ad + bc}{ab + cd}$ .

J'ai traité la question 1.

Je trouve ( en travaillant dans un premier temps sur les carrés, ça me paraît plus simple) :

$x^2 = \dfrac{(a^2+b^2)(ab+cd)-ab[(a^2+b^2)-(c^2+d^2)]}{ab+cd}$ et $y^2 = \dfrac{(b^2+c^2)(ab+cd)+bc[(a^2+d^2)-(b^2+c^2)]}{ad+bc}$ .

J'ai fait une figure sur géogébra et mes valeurs d'angles comme celles des diagonales x et y correspondent.

En développant et simplifiant, j'arrive à :

$x^2y^2 = \dfrac{ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2)}{ad+bc}*\dfrac{ab(c^2+dc^2)+cd(a^2+b^2)}{ab+cd}$

et je ne vois plus comment simplifier pour parvenir au résultat demandé.

Je pense quil faudrait trouver x²y² = a²c²+b²d²+2acbd, mais je ne vois pas comment.

Merci par avance à celles ou ceux qui m'aideront à finaliser la démonstration

Posté par re : simplifications 31-10-14 à 22:38

Bonjour,

Je pense que la bonne expression est :
$x^2y^2 = \dfrac{ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2)}{ad+bc}*\dfrac{ab(c^2+\boxed{d^2})+cd(a^2+b^2)}{ab+cd}$

Nicolas

Posté par re : simplifications 01-11-14 à 10:59

Bonjour Nicolas
oui tu as raison, mais hélas ce n'était qu'une erreur de frappe (maison ne pouvait pas le deviner), ce qui fait que pour l'instant..........je ne suis pas plus avancé

Posté par re : simplifications 01-11-14 à 11:04

Une fois cette faute de frappe corrigée, il me semble qu'on obtient bien ce que tu souhaites

Posté par re : simplifications 01-11-14 à 11:15

Une petite piste stp parce que a priori, même après une bonne nuit, je ne vois pas
merci par avance

Posté par re : simplifications 01-11-14 à 11:21

Tu veux montrer que :
$\dfrac{ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2)}{ad+bc}\times\dfrac{ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)}{ab+cd} = a^2c^2+b^2d^2+2acbd$

On veut donc montrer que :
$\left( ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2) \right) \left( ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) \right) = \left( a^2c^2+b^2d^2+2acbd \right) \left( ad+bc \right) \left( ab+cd \right)$

En développant le membre de gauche, on obtient :
$a^4 b c^2 d+a^3 b^2 c^3+2 a^3 b^2 c d^2+a^3 c^3 d^2+2 a^2 b^3 c^2 d+a^2 b^3 d^3+a^2 b c^4 d+2 a^2 b c^2 d^3+a b^4 c d^2+2 a b^2 c^3 d^2+a b^2 c d^4+b^3 c^2 d^3$

En développant le membre de droite, on obtient :
$a^4 b c^2 d+a^3 b^2 c^3+2 a^3 b^2 c d^2+a^3 c^3 d^2+2 a^2 b^3 c^2 d+a^2 b^3 d^3+a^2 b c^4 d+2 a^2 b c^2 d^3+a b^4 c d^2+2 a b^2 c^3 d^2+a b^2 c d^4+b^3 c^2 d^3$

... c'est-à-dire la même chose.

Nicolas

Note : $a^2c^2+b^2d^2+2acbd = (ac+bd)^2$

Posté par re : simplifications 01-11-14 à 11:40

Merci bcp Nicolas.
En persistant à chercher des simplifications sur le premier membre, je n'aurais jamais trouvé.
C'est un réflexe à avoir en cas de besoin lorsque les simplifications habituelles mènent ds une impasse.
Je m'en souviendrai

Posté par re : simplifications 01-11-14 à 11:41

Je t'en prie.