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solution d équation différencielle

Posté par Yooh (invité) 15-12-04 à 19:53

Bonsoir,

je dois resoudre une bonne vieille equation différentielle : (1/a)*(dUab/dt)+Uab=0 avec 1/a= RC

je pensais que la solution était de la forme Ae^(-t/a)-(aUab)
soit Ae^(-RC*t)-(Uab/RC)

or en regardant un exercice corrigé dans mon livre je vois que, pr cette même equation différentielle, que la solution serait de la forme Uab(t)=Ae^(-t/RC)...WHY??????

Posté par
Nofutur2re : solution d équation différencielle 15-12-04 à 20:01

dU/U = -adt
log U = -at +C
U = e-at +C
= K e-at

Posté par Yooh (invité)rien compris 15-12-04 à 21:01

mouai mouai je n'ai rien compris!!

Posté par
Belge-FDLEre : solution d équation différencielle 15-12-04 à 21:51

Salut ,

Je dois dire que j'ai mis également pas mal de temps à comprendre ton équadiff .
Enfin, maintenant, je pense que l'on a :

2$\rm~\frac{1}{a}(\frac{U(t)ab}{dt})~+~U(t)ab~=~0
2$\rm~\frac{1}{a}(\frac{U(t)ab}{dt})~=~-U(t)ab
2$\rm~\frac{1}{a}(\frac{U(t)ab}{dt})~=~-U(t)ab

"ab" est constante, on peut donc l'"extraire" pour obtenir :

2$\rm~\frac{1}{a}\times~ab(\frac{U(t)}{dt})~=~U(t)ab

On peut simplifier à présent par "ab" (en supposant a et b non nul car si c'était le cas, pour a, ce serait impossible, et pour b l'équadiff serait vérifiée pour toute fonction U(t)) et l'on obtient :

2$\rm~\frac{1}{a}(\frac{U(t)}{dt})~=~-U(t)
2$\rm~\frac{1}{a}U'(t)~=~-U(t)

Tu connais sûrement les solutions des équations différentielles de cette forme et je te laisse donc conclure .
Maintenant, en ce qui concerne la démarche de Nofutur2, il a juste résolu "réellement" cette équation différentielle, càd en considérant qu'on ne connaisse pas la forme des solution d'une équadiff de ce style. On a donc :

2$\rm~\frac{1}{a}U'(t)~=~-U(t)
2$\rm~U'(t)~=~-aU(t)
2$\rm~\frac{U'(t)}{U(t)}~=~-a

Or on sait que si deux fonctions sont les mêmes, leurs primitives sont également les mêmes à une constante k près. On obtient donc en "primitivant" :

2$\rm~ln(U(t))~=~-at~+~k
d'où en passant à l'exponentielle   2$\rm~U(t)~=~e^{-at~+~k}~=~e^{-at}\times~e^{k}

Or, k étant constante,  2$\rm~e^k  est également une constante et on obtient donc bien :

2$\rm~U(t)~=~K~e^{-at}

Voili, voiloù .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

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