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Niveau Reprise d'études-Ter
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solutions particulières d'équations polynômiales homogènes

Posté par
pppa
16-02-24 à 23:16

Bonjour

ce problème étudie les équations qui admettent des solutions inverses l'une de l'autre  (on travaille avec les nombres réels)

Question 1 :
A quelle condition une équation du second degré admet-elle des solutions inverses l'une de l'autre ?
Ma réponse :  on écrit l'équation a.x^{2} + b.x. + c  =  0 ; sous réserve que le discriminant \Delta = b^{2} - 4ac soit strict positif , ou nul (dans ce cas, la solution double est nécessairement x = 1, ce nombre étant son propre inverse), il faut de surcroît que a  =  c

Question 2 :
Montrer que cette propriété est vérifiée par les équations de degré m de la forme f(x) = 0 si le premier membre ordonné vérifie l'une des deux conditions suivantes :

2a/ les coefficients des termes extrêmes sont égaux

2b/ les coefficients des termes équidistants des termes extrêmes sont opposés, et il n'y a pas de monôme équidistant des termes extrêmes

Mes premiers éléments de recherche :
c'est le cas où le premier membre de l'équation comprend un nombre pair de monômes ordonnés.

Pour m = 3, j'ai posé :

pour le cas 2a/

ax^{3} + bx^{2} + bx + a = 0, ce qui se transforme en :

(x+1).(ax^{2} + (b - a).x + a) = 0

x = -1 est solution évidente ; je m'intéresse aux solutions du deuxième facteur :
sous réserve que \Delta = (b - 3a).(b + a) soit positif ou nul (ce que je ne sais pas établir), les deux solutions sont \frac{-(b - a) +/- \sqrt{(b - 3a).(b + a)}}{2a}, dont le produit vaut 1, les deux solutions sont donc inverses l'une de l'autre.

pour le cas 2b/

ax^{3} + bx^{2} - bx - a = 0, ce qui se transforme en :

(x-1).(ax^{2} + (b + a).x + a) = 0

x = 1 est solution évidente ; je m'intéresse aux solutions du deuxième facteur :
sous réserve que \Delta = (b - a).(b + 3a) soit positif ou nul (ce que je ne sais pas établir), les deux solutions sont \frac{-(b + a) +/- \sqrt{(b - a).(b + 3a)}}{2a}, dont le produit vaut 1, les deux solutions sont donc inverses l'une de l'autre.

Mais comment le vérifier dans le cas général (quel que soit la valeur de m, et notamment lorsque m est pair et qu'un monôme ( ou plusieurs en nombre impair) manquent (coefficient 0) ?

Merci par avance pour votre aide

Posté par
Zormuche
re : solutions particulières d'équations polynômiales homogènes 17-02-24 à 01:28

Bonjour

Cet énoncé m'étonne
Si je prends l'équation x^3+3x^2-5x+1=0, qui respecte la condition 2b, on obtient 3 solutions réelles dont aucunes ne sont deux à deux inverses, cependant le produit des trois solutions vaut -1 (qui se trouve être (-1)^m où m est le degré de l'équation)

Posté par
carpediem
re : solutions particulières d'équations polynômiales homogènes 17-02-24 à 10:00

salut

que c'est bien compliqué !!

si un polynôme du second degré (ax^2 + bx + c) admet deux racines inverses l'une de l'autre alors il se factorise par (x - s)(x - 1/s)  (en a(x - s)(x - 1/s) et il suffit de développer !!! (et d'identifier avec ax^2 + bx + c si on veut)

pour un polynome de degré m :

1/ on peut remarquer que dans le cas où m est impair alors une solution (éventuellement multiple) est au moins 1 ou -1 (qui sont leur propres inverses)

dans le cas général P s'écrit : P(x) = (x - 1)^m (x + 1)^n \prod_1^p (x - s_k)(x - 1/s_k)   avec s_k \ne 0

et si d = \deg P alors d = m + n + 2p


REM : il est plus simple de raisonner avec un coefficient dominant = 1 (donc en divisant par a pour le second degré) puisque pour tout réel k non nul les polynômes P et kP ont même racines

on peut déjà commencer à le vérifier avec p = 1 puis p = 2 ... pour voir ...

Posté par
pppa
re : solutions particulières d'équations polynômiales homogènes 19-02-24 à 23:16

>> Carpediem

merci pour ton intervention dont je me suis inspiré pour étudier une propriété intéressante, que je ne connaissais pas, en me limitant aux cas des premiers membres de degré 3, 4 et 5

Posté par
carpediem
re : solutions particulières d'équations polynômiales homogènes 20-02-24 à 08:15

de rien



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