Niveau exercices

somme

Posté par
flight 14-11-23 à 20:28

Bonsoir

je vous propose le calcul de la somme suivante :

Sn = (-1)^kk , k compris entre 1 et n
avec n un entier

Posté par re : somme 14-11-23 à 21:30

Bonsoir

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Posté par re : somme 14-11-23 à 21:49

Bonsoir,

je trouve comme elhor_abdelali que je salue avec peut-être un peu moins de calculs.
Je commence par le cas $n=2p$ :

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On en déduit immédiatement le cas $n=2p+1$ :

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Si on regroupe en une seule formule on obtient comme elhor_abdelali :

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Posté par re : somme 14-11-23 à 21:53

Autrement dit

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Posté par re : somme 14-11-23 à 21:54

Oui jandri

Posté par re : somme 15-11-23 à 10:06

Bonjour à tous , bravo , de mon coté j'ai obtenu une réponse comme celle donnée par elhor abdelali hier à 21h53

Posté par re : somme 15-11-23 à 14:30

C'est plus long à écrire qu'à comprendre

$\begin{array}{lcl} \\ (-1)^nS_n &=& \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}(k - n + n)\\ \\ &=& -\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}(n-k) + n(-1)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k\\ \\ &=& -S_n + n(-1)^n\dfrac{1+(-1)^{n}}{2} \\ \end{array}$

Donc $(1+(-1)^n)S_n = (1+(-1)^n)\dfrac{n}{2}$ .
Ainsi, quand n est pair, $S_n = \dfrac{n}{2}$
et quand n est impair, $S_{2n+1} = S_{2n} + (-1)^{2n+1}(2n+1) = n - (2n+1) = -(n+1) = -\dfrac{(2n+1) + 1}{2}$ .

D'où $S_n = (-1)^n\left\lceil\dfrac{n}{2}\right\rceil$