Niveau exercices

somme

Posté par
flight 25-07-24 à 17:19

Bonsoir

je vous propose l'exercice suivant :

il s'agit de calculer la somme E(kd) , k compris entre 1 et n. E est la partie entière et 0d<1

Posté par re : somme 06-08-24 à 13:27

salut

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Posté par re : somme 06-08-24 à 14:40

Tu peux développer la somme en introduisant une somme télescopique

$k(m_{k+1} - m_k) = \left[(k+1)m_{k+1} - km_k\right] - m_k$

donc $S = (p+1)n - m_1 - \sum_{k=1}^p m_k$ .

Par ailleurs, si d = u/v est rationnel et sous forme irréductive, $m_id < i \iff m_i < iv/u$ . Le membre de droite est entier ssi u divise i et dans ce cas, m_i =i/d - 1 = E(i/d) - 1.
Sinon, m_i = i/d = E(i/d) et de même, m_i = E(i/d) quand d n'est pas rationnel.

Posté par re : somme 06-08-24 à 14:50

Petit coquille, c'est $k(m_{k+1} - m_k) = \left[(k+1)m_{k+1} - km_k\right] - m_{k+1}$

et $S = (p+1)n - m_1 - \sum_{k=2}^{p+1} m_k = pn - \sum_{k=1}^p m_k = \sum_{k=1}^p (n-m_k)$ .

Je rajoute que