Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par flight 27-10-24 à 19:32
Bonsoir
Je vous propose le calcul de la somme suivante , qui met en jeu la partie entière notée E .
S(n)= 
(2+ (k/3)) , avec k compris entre 1 et n .
Posté par Zormuchere : somme 27-10-24 à 20:59 Bonjour, je crois qu'il manque un symbole quelque part
Posté par flightre : somme 27-10-24 à 22:42 Bonsoir Zormuche , effectivement !! merci 
il s'agit de calculer la somme E(2 + (k/3)) , k allant de 1 à n
Posté par Ulmierere : somme 28-10-24 à 13:11 
Cliquez pour afficherOn peut sortir le 2 de la partie entière et rajouter 2n à la somme sans le 2
 &=& \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n 1_{\{j\leqslant k/3\}}\\
\\ &=& \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n 1_{\{k\geqslant 3j\}}\\
\\ &=& \sum_{j=1}^{E(n/3)}(n-3j+1)\\
\\ &=& (n+1)E(n/3) - \dfrac32 E(n/3)E(n/3+1)
\\ \end{array})
En posant
la somme attendue est 2n + m(n+1) - 3/2m(m+1).
 = n(m+2) - \dfrac{m(3m+1)}{2})
Posté par flightre : somme 28-10-24 à 16:55 Bonjour Ulmiere , c'est pas très lisible dans ton blanck
Posté par Ulmierere : somme 28-10-24 à 18:05 Étrange, chez moi tout est parfaitement lisible 
La somme est égale à
Cliquez pour afficher n(m+2) - m(3m+1)/2, où on a posé m = E(n/3)
Posté par candide2re : somme 28-10-24 à 19:22 Bonjour,
Cliquez pour afficher
Une manière parmi d'autres de présenter les solutions:
Si n est multiple de 3 ou (1 + multiple de 3), alors S = (n²+11n)/6
Si n est (2 + multiple de 3), alors S = (n²+11n-2)/6
Posté par jandri 
re : somme 28-10-24 à 21:27 Bonjour,
on peut retirer le 2 dans la partie entière puisqu'on calcule facilement 
On peut généraliser à un entier 
et demander de calculer =\sum_{k=1}^n\lfloor k/p\rfloor)
(la notation pour la partie entière de x est 
).
Il existe des formules simples si on écrit 
avec 
.
Une formule en fonction de 
et 
:
Cliquez pour afficher Une formule en fonction de
et
:
Cliquez pour afficher C'est la formule trouvée par
Ulmiere quand
en ajoutant
.
Quand
la formule donnant
)
se simplifie en une formule qui ne fait intervenir ni
ni
:
Cliquez pour afficher Quand
en ajoutant
on retrouve la formule de
candide2 Posté par flightre : somme 28-10-24 à 22:47 Je trouve une formule toute simple en fonction de n :
S(n)= 2n -(3/2).(E(n/3))² + E(n/3).(n -1/2) ....bravo à tous et merci à jandri pour sa généralisation .
Posté par jandri re : somme 28-10-24 à 23:04 C'est exactement la formule trouvée par Ulmiere dans laquelle il a posé m=E(n/3)
Posté par candide2re : somme 29-10-24 à 14:57 Bonjour,
Une autre façon de présenter les solutions :
![S =\frac{ n^2+11n-2*ent[\frac{Mod(n,3)}{2}]}{6}](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?S =\frac{ n^2+11n-2*ent[\frac{Mod(n,3)}{2}]}{6} )
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